《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学4.4 有理函数的积分

第四节 第四章 有理教的积分 ·基本积分法：直接积分法， 换元积分法； 分部积分法 求导 ·初等函数 初等函数 积分 本节内容 一、 有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第四节 • 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章

一、有理函数的积分 有理函数 P(x) R(x)= a0x”+a1x1++an 2(x) bxm+bxm+.+bnm m≤n时，R(x)为假分式，m>n时，R(x)为真分式 有理函数 相除 多项式十真分式 分解 若干部分分式之和 其中部分分式的形式为 Mx+N (k∈N*,p2-4g<0) (x-a) (x2+px+q)* HIGH EDUCATION PRESS D0C08 机动目录上页下页返回结束

一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = = n n n a x + a x + + a 0 1 −1  有理函数: m  n 时, 为假分式; m  n 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2 + + + − ( N , 4 0) 2  −  + k p q 若干部分分式之和 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.将下列真分式分解为部分分式 x+3 (3) x(x-1)2 (2 x2-5x+6 1+2x)1+x2) 解：(1)用拼凑法 。=x-(x-1) x(x-1)2xx-1)2 (x-12x(x-1) x-(x-1) (x-1)2 x(x-1) (x-1)2x-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 − = x x − x x 2 ( 1) 1 − = x ( 1) 1 − − x x 2 ( 1) 1 − = x ( −1) − x x 2 ( 1) 1 − = x 1 1 − − x x 1 + x −(x −1) x −(x −1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2)用赋值法 x+3 x+3 B x2-5x+6 (x-2)(x-3) x-2x-3 ,A=(x-2)原式 -2=25 x+3 n=R-原式k=3-96 x+图 故 原式=5 6 x-2 x-3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(2) 用赋值法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x − 2 = x A − 3 + x B  A = (x − 2)原式 x = 2 3 2 3 − = + = x x x = −5 B = (x −3)原式 x = 3 2 3 3 − = + = x x x = 6 故 2 5 − − = x 原式 3 6 − + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(3)混合法 A Bx+C (1+2x1+x2)1+2x1+x2 4 A=(1+2x)原式 =-支 分别令x=0,1代入等式两端 4 2 1= ,B+C 4 6 15 赋] HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(3) 混合法 = (1+ 2 )(1+ ) 1 2 x x + + x A 1 2 2 1 x Bx C + + A = (1+ 2x)原式 2 1 x = − 5 4 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = +C 5 4 1 15 2 4 6 1 B +C = + 5 2 B = − 5 1 C = 原式 = 1 2x 4 5 1  +    + − − 2 1 2 1 x x

1.求5x+ x+1 dx x+1 解：被积函数 = (x-2)(x-3) x+1 A B 设 (x-2)(x-3) x-3x-2 A=4 解得 {B=-3 原威-4川d到2d: =4lnx-3-31nx-2+C HIGH EDUCATION PRESS O-e0C①8 例1(3)目录上页下页返回结束

例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 解: 被积函数 1 ( 2)( 3) x x x + = − − 例1. 求 设 1 ( 2)( 3) 3 2 x A B x x x x + = + − − − − 解得 4 3 A B  =   = − 原式 1 1 4 d -3 d 3 2 x x x x = − −   = − 4ln 3 -3ln - 2 + x x C

例2.求 x+2 dx (2x+1(x2+x+1 解： x+2 A Bx+D 设 (2x+1)(x2+x+1) 2x+1 x2+x+1 A=2 解得 B=-1 D=0 原式 -22xdx =2+小a: HIGH EDUCATION PRESS 例1()目录上页下页返回结束

例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 解: 例2. 求 设 2 2 2 (2 1)( 1) 2 1 1 x A Bx D x x x x x x + + = + + + + + + + 解得 2 1 0 A B D  =   = −   = 原式 2 1 1 2 d - d 2 1 1 x x x x x = + + +   2 1 (2 1) 1 ln 2 1 - d 2 1 x x x x x + − = + + + 

x nxdD =ln2x+2n(x2+x+) arctan( +1 +C HIGH EDUCATION PRESS O-e0C①8 例1(3)目录上页下页返回结束

例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 2 1 (2 1) 1 ln 2 1 - d 2 1 x x x x x + − = + + +  2 2 1 1 ln 2 1 - d( 1) 2 1 x x x x x = + + + + +  2 1 1 d 2 1 3 ( ) 2 4 x x + + +  1 2 ln 2 1 - ln( 1) 2 = + + + x x x 1 2 1 arctan( ) 3 3 x C + + +

x-3 例3.求 j-1 -dx D 解 x-3 Ax+B 设 (x-1)(x2-1) (x-1)2 x+1 A=1 解得 {B=-2 D=-1 原式 号2j4 -ik-+C HIGH EDUCATION PRESS 例1()目录上页下页返回结束

例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 解: 例3. 求 设 2 2 3 ( 1)( 1) ( 1) 1 x Ax B D x x x x − + = + − − − + 解得 1 2 1 A B D  =   = −   = − 原式 2 ( 1) 1 1 d - d ( 1) 1 x x x x x − − = − +   1 ln 1 ln 1 -1 x x C x = − + − + +

二、可化为有理函数的积分举例 1.三角函数有理式的积分 设R(sinx,cosx)表示三角函数有理式，则 「R(sinx,cosx)dx 令t=tan 万能代换 t的有理函数的积分 HIGH EDUCATION PRESS 0-◆0C08 机动目录上页下页返回结束

二 、可化为有理函数的积分举例 设 表示三角函数有理式 , R(sin x, cos x)dx  令 2 tan x t = 万能代换 t 的有理函数的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分 则