《高等数学》课程教学资源（导学单）11、二阶线性微分方程

二阶微分方程 教学目的与要求 1.会用降阶法解下列微分方程：y=∫x),y+∫(x,y)和y=f0y,y) 2理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 3.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方 程。 4.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程的特解和通解。 5.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 6.会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 7.5可降阶的高阶微分方程 一、J=f)型的徽分方程 解法：积分n次 ym-D=∫fxk+C, y-2=[Iff(x)dx+Cilx+C2 例1求微分方程y"=e2-cosx的通解 解对所给方程接连积分三次。得 y"=e2x-sinx+C -+c0x+C+C:. +x+C+Cx+C3. 这就是所给方程的通解 或y=2e2-smx+2G, y=e2+cosx+2Cx+C2 y=ge2x+sin x+Cjx2+C2x+C3. 这就是所给方程的通解 例2质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动.设力F仅是时间1的函数：F=F), 在开始时刻0时RO)=F,随若时间1的增大，此力F均匀地减小，直到1T时，T=0.如 果开始时质点位于原点 且初速度为零，求这质点的运动规律 解设=()表示在时刻1时质点的位置，根据牛顿第二定律，质点运动的微分方程为 n器=F0

二阶微分方程 教学目的与要求 1.会用降阶法解下列微分方程： ( ) ( ) n y f x = ， y f x y   + ( , ) 和 y f y y   = ( , ) 2.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 3.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方 程。 4.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程的特解和通解。 5.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 6.会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 §7.5 可降阶的高阶微分方程 一、y (n)=f (x)型的微分方程 解法 积分 n 次 1 ( 1) y f (x)dx C n = +  −  1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + +   −     例 1 求微分方程 y=e 2x −cos x 的通解 解 对所给方程接连积分三次 得 1 2 sin 2 1 y e x C x  = − +  1 2 2 cos 4 1 y e x C x C x  = + + +  2 3 2 1 2 2 1 sin 8 1 y e x C x C x C x = + + + +  这就是所给方程的通解 或 1 2 sin 2 2 1 y e x C x  = − +  1 2 2 cos 2 4 1 y e x C x C x  = + + +  2 3 2 1 2 sin 8 1 y e x C x C x C x = + + + +  这就是所给方程的通解 例2 质量为m的质点受力F 的作用沿Ox轴作直线运动 设力F 仅是时间t的函数F=F(t) 在开始时刻 t=0 时 F(0)=F0 随着时间 t 的增大 此力 F 均匀地减小 直到 t=T 时 F(T)=0 如 果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律 解 设 x=x(t)表示在时刻 t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为 ( ) 2 2 F t dt d x m = 

由题设，力F)随1增大而均匀地减小，且0时，FO)=F,所以F作F-:;又当T时， FT=0,从而 F)=F1-为) 于是质点运动的微分方程又写为 其初始条件为礼0=0,0-0 把微分方程两边积分，得 再积分一次，得 -+c4G 由初始条件功o-0.产-0， 得C1=C=0. 是所求质点的运动规律为 g-.e 解设=x0表示在时刻1时质点的位置， 根据牛顿第二定律，质点运动的微分方程为 =F0 由题设，F)是线性函数，且过点(0，Fo)和(T,0), 故 罗号=1，即A0=0-学 于是质点运动的微分方程又写为 - 其初始条件为-=0，xl-=0. 把微分方程两边积分，得 再积分一次，得 -C 由初始条件-=0，l=0, 得C1=C=0 于是所求质点的运动规律为 )0csT

由题设 力 F(t)随 t 增大而均匀地减小 且 t=0 时 F(0)=F0 所以 F(t)=F0−kt 又当 t=T 时 F(T)=0 从而 ( ) (1 ) 0 T t F t =F −  于是质点运动的微分方程又写为 (1 ) 0 2 2 T t m F dt d x = −  其初始条件为 x| t=0=0 | t=0=0 dt dx  把微分方程两边积分 得 1 2 0 ) 2 ( C T t t m F dt dx = − +  再积分一次 得 1 2 3 0 2 ) 2 6 1 ( C t C T t t m F x= − + +  由初始条件 x|t=0=0 | t=0=0 dt dx  得 C1=C2=0 于是所求质点的运动规律为 ) 2 6 1 ( 3 0 2 T t t m F x= −  0tT 解 设 x=x(t)表示在时刻 t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为 mx=F(t) 由题设 F(t)是线性函数 且过点(0 F0)和(T 0) 故 1 ( ) 0 + = T t F F t  即 ( ) (1 ) 0 T t F t = F −  于是质点运动的微分方程又写为 (1 ) 0 T t m F x  = −  其初始条件为 x|t=0=0 x|t=0=0 把微分方程两边积分 得 1 2 0 ) 2 ( C T t t m F x  = − +  再积分一次 得 2 3 0 2 ) 2 6 1 ( C T t t m F x= − +  由初始条件 x|t=0=0 x|t=0=0 得 C1=C2=0 于是所求质点的运动规律为 ) 2 6 1 ( 3 0 2 T t t m F x= −  0tT

二、y”=x,y)型的微分方程 解法：设y=印则方程化为 p'=xp). 设p'=xp)的通解为p=x,C,则 安tG 原方程的诵解为 y=o(x.Ci)dx+C2 例3求微分方程 (1+x2y"=2y 满足初始条件 yo=1,=3 的特解。 解所给方程是y”=x,y)型的.设y=印，代入方程并分离变量后，有 虫语 两边积分，得 Inlpl=In(1+x)+C. 即 p=y=Ci(l+x)(Ci=te). 由条件y-=3,得C=3, 所以 y=31+x2 两边再积分，得 =x2+3x+C 又由条件0=l,得C2=1, 于是所求的特解为 =x2+3x+l. 例4设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在 平衡状态时是怎样的曲线？ 三、y”=)型的微分方程 解法：设y=p,有 原方程化为 p柴-c叭 方程P心p的通为yGL则方程的道解为 jn4c

二、y= f(x y)型的微分方程 解法 设 y=p 则方程化为 p=f(x p) 设 p=f(x p)的通解为 p=(xC1) 则 ( , ) C1 x dx dy =  原方程的通解为 1 2 y= (x,C )dx+C    例 3 求微分方程 (1+x 2 )y=2xy 满足初始条件 y|x=0=1 y|x=0=3 的特解 解 所给方程是 y=f(x y)型的 设 y=p 代入方程并分离变量后 有 dx x x p dp 2 1 2 + =  两边积分 得 ln|p|=ln(1+x 2 )+C 即 p=y=C1(1+x 2 ) (C1=e C ) 由条件 y|x=0=3 得 C1=3 所以 y=3(1+x 2 ) 两边再积分 得 y=x 3+3x+C2 又由条件 y|x=0=1 得 C2=1 于是所求的特解为 y=x 3+3x+1 例 4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在 平衡状态时是怎样的曲线? 三、y=f(y y)型的微分方程 解法 设 y=p有 dy dp p dx dy dy dp dx dp y  = =  =  原方程化为 f (y, p) dy dp p =  设方程 f (y, p) dy dp p = 的通解为 y=p=(y C1) 则原方程的通解为 2 1 ( , ) x C y C dy = +  

例5求微分y"-y2=0的通解 解设/-p,则y=p dy 代入方程，得 p贵-0 在0、p0时，约去p并分离变量，得 dpd少 D V 两边积分得 Inipl=Inb+inc, 即 D=Cy或y=CC=±c. 再分离变量并两边积分，便得原方程的通解为 =Cx+lnc 2=0的通解 解设'=p,则原方程化为 p来p-0, 当)0、0时，有 需p=-0 于是=片-G, 从而原方程的通解为 y-Celc=Cce. 例6一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面.求它落 到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力） S7.6高阶线性徽分方程 一、二阶线性微分方程举例 例1设有一个弹簧，上端固定，下端挂一个质量为m的物体取x轴铅直向下，并取物 体的平衡位置为坐标原点 给物体一个初始速度物0后，物体在平衡位置附近作上下振动.在振动过程中，物体的 位置x是1的函数：=). 设弹簧的弹性系数为G,则恢复力户一x

例 5 求微分 yy−y 2=0 的通解 解 设 y=p 则 dy dp y  = p  代入方程 得 0 2 − p = dy dp yp  在 y0、p0 时 约去 p 并分离变量 得 y dy p dp =  两边积分得 ln|p|=ln|y|+lnc 即 p=Cy 或 y=Cy(C=c) 再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为 ln|y|=Cx+lnc1 或 y=C1e Cx (C1=c1) 例 5 求微分 yy−y 2=0 的通解 解 设 y=p 则原方程化为 0 2 − p = dy dp yp  当 y0、p0 时 有 0 1 − p = dy y dp  于是 p e C y dy y 1 1 =  =  即 y−C1y=0 从而原方程的通解为 C dx C x y C e C e 1 1 2 = 2  =  例 6 一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面 求它落 到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力） §7.6 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 例1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物 体的平衡位置为坐标原点 给物体一个初始速度 v00 后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的 位置 x 是 t 的函数 x=x(t) 设弹簧的弹性系数为 c 则恢复力 f=−cx

又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比，比例系数为：则 R-$ 由牛顿第二定律得 m=-密 移项并记2n=片k2=品 则上式化为 +2+=0. 这就是在有阻尼的情况下，物体自由振动的微分方程。 如果振动物体还受到铅直扰力 F=Hsinpt 的作用，则有 器+2会+m, 其中h=卫.这就是强迫振动的微分方程 例2设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L、及C 为常数，电源电动势是时间1的函数：E=Esino,这里En及a也是常数 设电路中的电流为)，电容器极板上的电量为q),两极板间的电压为，自感电动势为E, 由电学知道 1路4=是，E=-l出 根据回路电压定律，得 E-t由-名-=0， 即 或写成 d-uc 中一品，一衣·这藏是中联电路的表酱方程 如果电容器经充电后撤去外电源(E=0),则上述成为 器+20-0. 二阶线性微分方程：二阶线性微分方程的一般形式为 y+P(x)y+Q(x)y=fx). 若方程右端x)=0时，方程称为齐次的，否则称为非齐次的

又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为  则 dt dx R−  由牛顿第二定律得 dt dx cx dt d x m =− − 2 2  移项 并记 m n  2 =  m c k = 2  则上式化为 2 0 2 2 2 + +k x= dt dx n dt d x  这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程 如果振动物体还受到铅直扰力 F=Hsin pt 的作用 则有 k x h pt dt dx n dt d x 2 sin 2 2 2 + + =  其中 m H h=  这就是强迫振动的微分方程 例 2 设有一个由电阻 R、自感 L、电容 C 和电源 E 串联组成的电路 其中 R、L、及 C 为常数 电源电动势是时间 t 的函数 E=Emsint 这里 Em及  也是常数 设电路中的电流为i(t) 电容器极板上的电量为q(t) 两极板间的电压为uc 自感电动势为EL  由电学知道 dt dq i =  C q uc =  dt di EL =−L  根据回路电压定律 得 − − −Ri =0 C q dt di E L  即 u E t dt du RC dt d u LC c m c c sin 2 2 + + =  或写成 t LC E u dt du dt d u m c c c 2 0 2 sin 2 2 + + =  其中 L R 2  =  LC 1 0 =  这就是串联电路的振荡方程 如果电容器经充电后撤去外电源(E=0) 则上述成为 2 0 2 2 0 2 + + c = c c u dt du dt d u    二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 若方程右端 f(x)0 时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的

二、线性微分方程的解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 y-即是+P安+g=0. 定理1如果函数()与2(x)是方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=0. 的两个解，那么 =Ci(x)+Czvz(x) 也是方程的解，其中C、C2是任意常数 齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理， 证明[Cm+C2'=Cn'+C', [Cn+C22"=Cn"+C22” 因为片与2是方程y”+Pxy+Ox=0,所以有 "+P(xn'+Ox1=0及”+Px'+0x=0, 从而 [C11+C22]"+P(x)C+C22]'+Qx川C1+C22] =Ci[y"+P(x)y+Q(x)yH+"+P(xlyz+Q(x)+0=0 这就证明了=C(x+C2(x)也是方程y"+PxN+Qx=0的解 函数的线性相关与线性无关： 设n(x2(x,·,h()为定义在区间1上的n个函数如果存在n个不全为零的常数 ,k,使得当x时有恒等式 kh(x)+k(x)+.,.+k(x=0 成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则称为线性无关」 判别两个函数线性相关性的方法： 对于两个函数，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，如果比为常数，那么 它们就线性相关，否则就线性无关. 例如，1，cos'x,sin在整个数轴上是线性相关的.函数1，x,在任何区间(ab)内是线 性无关的。 定理2如果如果函数)与2()是方程 y"+P(x)y+Q(x)y=0 的两个线性无关的解，那么 =Cn(x+Cx)(C、C是任意常数) 是方程的通解 例3验证=cosx与2=nx是方程y"+=0的线性无关解，并写出其通解。 解因为 y"+=-cosx+=0, "=-sin x+sinx=0

二、线性微分方程的解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 y+P(x)y+Q(x)y=0 即 ( ) ( ) 0 2 2 + +Q x y= dx dy P x dx d y  定理 1 如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 y+P(x)y+Q(x)y=0 的两个解 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 也是方程的解 其中 C1、C2 是任意常数 齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理 证明 [C1y1+C2y2]=C1 y1+C2 y2 [C1y1+C2y2]=C1 y1+C2 y2 因为 y1 与 y2 是方程 y+P(x)y+Q(x)y=0 所以有 y1+P(x)y1+Q(x)y1=0 及 y2+P(x)y2+Q(x)y2=0 从而 [C1y1+C2y2]+P(x)[ C1y1+C2y2]+Q(x)[ C1y1+C2y2] =C1[y1+P(x)y1+Q(x)y1]+C2[y2+P(x)y2+Q(x)y2]=0+0=0 这就证明了 y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程 y+P(x)y+Q(x)y=0 的解 函数的线性相关与线性无关 设 y1(x) y2(x)     yn(x)为定义在区间 I 上的 n 个函数 如果存在 n 个不全为零的常数 k1 k2     kn 使得当 xI 时有恒等式 k1y1(x)+k2y2(x)+    + knyn(x)0 成立 那么称这 n 个函数在区间 I 上线性相关 否则称为线性无关 判别两个函数线性相关性的方法 对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么 它们就线性相关 否则就线性无关 例如 1 cos2 x  sin2 x 在整个数轴上是线性相关的 函数 1 x x 2 在任何区间(a, b)内是线 性无关的 定理 2 如果如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 y+P(x)y+Q(x)y=0 的两个线性无关的解 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2 是任意常数) 是方程的通解 例 3 验证 y1=cos x 与 y2=sin x 是方程 y+y=0 的线性无关解 并写出其通解 解 因为 y1+y1=−cos x+cos x=0 y2+y2=−sin x+sin x=0

所以=cosx与=sinx都是方程的解。 因为对于任意两个常数k、白，要使 kicosx+sin x=0. 只有k=k=0,所以cosx与snx在(-，+o)内是线性无关的 因此n=cosx与2=sinx是方程y”+=0的线性无关解。 方程的通解为=C1cosx4C2sinx. 例4验证n=x与=e是方程(x-1y"-y+=0的线性无关解，并写出其通解 解因为 (-1n"-xy'+y1=0-x+x=0, (6x-1"-x'+2=(x-1)e2-xe+e=0, 所以=x与=d都是方程的解， 因为比值e不恒为常数，所以n=x与=在(-，+∞)内是线性无关的 因此=x与=e是方程(x-1y"-y+=0的线性无关解. 方程的通解为=Cx+C2e 推论如果n,2(,m)是方程 +a(办a-+.+a-1xy+ax=0 的n个线性无关的解，那么，此方程的通解为 =Cn(xHC(xH·+Cn(x, 其中C,C2,Cn为任意常数 二阶非齐次线性方程解的结构： 我们把方程 y+P(x)y+Q(x)y=0 叫做与非齐次方程 y"+P(x)y+Q(x)y=fx) 对应的齐次方程 定理3设(x)是二阶非齐次线性方程 y"+P(x)y+Q(x)y=fix) 的一个特解，)是对应的齐次方程的通解，那么 =x)y*(x) 是二阶非齐次线性微分方程的通解， 证明提示：[Yx)+*(x)"+PYx)+*(x'+Oxx+y*( =[Y"+Px)Y'+Ox)Y]+[*"+Pxy*'+Ox] =0+xx) 例如，Y=C1cosx+C2sinx是齐次方程y+=0的通解，*=x2-2是y"+=x2的一个特解，因

所以 y1=cos x 与 y2=sin x 都是方程的解 因为对于任意两个常数 k1、k2 要使 k1cos x+k2sin x0 只有 k1=k2=0 所以 cos x 与 sin x 在(−, +)内是线性无关的 因此 y1=cos x 与 y2=sin x 是方程 y+y=0 的线性无关解 方程的通解为 y=C1cos x+C2sin x 例 4 验证 y1=x 与 y2=e x是方程(x−1)y−xy+y=0 的线性无关解 并写出其通解 解 因为 (x−1)y1−xy1+y1=0−x+x=0 (x−1)y2−xy2+y2=(x−1)e x −xex +e x =0 所以 y1=x 与 y2=e x都是方程的解 因为比值 e x /x 不恒为常数 所以 y1=x 与 y2=e x在(−, +)内是线性无关的 因此 y1=x 与 y2=e x是方程(x−1)y−xy+y=0 的线性无关解 方程的通解为 y=C1x+C2e x  推论 如果 y1(x) y2(x)    yn(x)是方程 y (n)+a1(x)y (n−1)+    +an−1(x)y+ an(x)y=0 的 n 个线性无关的解 那么 此方程的通解为 y=C1y1(x)+C2y2(x)+    + Cnyn(x) 其中 C1 C2    Cn 为任意常数 二阶非齐次线性方程解的结构 我们把方程 y+P(x)y+Q(x)y=0 叫做与非齐次方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 对应的齐次方程 定理 3 设 y*(x)是二阶非齐次线性方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 的一个特解 Y(x)是对应的齐次方程的通解 那么 y=Y(x)+y*(x) 是二阶非齐次线性微分方程的通解 证明提示 [Y(x)+y*(x)]+P(x)[ Y(x)+y*(x)]+Q(x)[ Y(x)+y*(x)] = [Y +P(x)Y +Q(x)Y ]+[ y* +P(x)y* +Q(x)y*] =0+ f(x)= f(x) 例如 Y=C1cos x+C2sin x 是齐次方程 y+y=0 的通解 y*=x 2−2 是 y+y=x 2 的一个特解 因

此 =Cicos.x+C:sin x+x-2 是方程y"+1=x2的通解 定理4设非齐次线性微分方程y"+Pxy+Qxx)的右端)几个函数之和，如 y"+P(x)y+Q(x)y=fi(x)+A(x) 而(x)与2(x)分别是方程 y"+P(x)y+Q(x)v=fi(x)y+P(x)y+Q(xb=f(x) 的特解，那么*(x+*(x)就是原方程的特解。 证明提示： bn+2]"+P(x[n*+2]'+O(x[n*+2] =[*"+Px)n"+0x)n门+H2*"+P)"+0x) -/i(x)+/(x). S7.7二阶常系数齐次线性徽分方程 二阶常系数齐次线性微分方程：方程 y"+py+=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中、q均为常数。 如果n、2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解，那么=C+Cn就是 它的通解 我们看看，能否适当选取,使=满足二阶常系数齐次线性微分方程，为此将= 代入方程 y"+py+9=0 (r2+pr+q)e=0. 由此可见，只要r满足代数方程2+p+g=0,函数=严就是微分方程的解. 特征方程：方程户+p+g=0叫做微分方程y"+py+D=0的特征方程.特征方程的两个根 n、n可用公式 a=p+±p2-g 求出. 特征方程的根与通解的关系： ()特征方程有两个不相等的实根n、n时，函数片=、乃=是方程的两个线性 无关的解。 这是因为

此 y=C1cos x+C2sin x+x 2−2 是方程 y+y=x 2 的通解 定理 4 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的右端 f(x)几个函数之和 如 y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+ f2(x) 而 y1*(x)与 y2*(x)分别是方程 y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)与 y+P(x)y+Q(x)y=f2(x) 的特解 那么 y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解 证明提示 [y1+y2*]+P(x)[ y1*+y2*]+Q(x)[ y1*+y2*] =[ y1*+P(x) y1*+Q(x) y1*]+[ y2*+P(x) y2*+Q(x) y2*] =f1(x)+f2(x) §7.7 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y+py+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中 p、q 均为常数 如果 y1、y2 是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么 y=C1y1+C2y2 就是 它的通解 我们看看 能否适当选取 r 使 y=e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y=e rx 代入方程 y+py+qy=0 得 (r 2+pr+q)e rx =0 由此可见 只要 r 满足代数方程 r 2+pr+q=0 函数 y=e rx就是微分方程的解 特征方程 方程 r 2+pr+q=0 叫做微分方程 y+py+qy=0 的特征方程 特征方程的两个根 r1、r2 可用公式 2 4 2 1,2 p p q r − + − = 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根 r1、r2 时 函数 r x y e 1 1= 、 r x y e 2 2 = 是方程的两个线性 无关的解 这是因为

隔数列=、为=：是方程销解又点二=小加不是常数 2 因此方程的通解为 y=+ (2)特征方程有两个相等的实根n=n时，函数片=、乃=x是二阶常系数齐次线性 微分方程的两个线性无关的解 这是因为，片=er是方程的解，又 (xev)"+p(xevy+q(xe)=(2r+x)erx+p(l+xn)er+qxen =e'(2r+p)+xe(2+pm+q)=0, 所以为=x“也是方程的解且务-答=不是常数 因此方程的通解为 y=Ce+Cxer (3)特征方程有一对共轭复根n.2=a出B时，函数=ea仰、=e廊是微分方程的两个线 性无关的复数形式的解.函数)=ecosfx、=esin:是微分方程的两个线性无关的实数形式 的解 函数n=am和=ea-呼都是方程的解，而由欧拉公式，得 y=e(cospx+isinx), (cosBr-isinr), n+=2 cosp,.e cosp=0仍+2)， y=ie'sinp,esin (-y) 故ecos、2=esinAx也是方程解. 可以验证，n=ecos、2=esin是方程的线性无关解。 因此方程的通解为 =e(C1cosr+C2sin)） 求二阶常系数齐次线性微分方程y"++p=0的通解的步骤为： 第一步写出微分方程的特征方程 户+pr+qg=0 第二步求出特征方程的两个根n、2. 第三步根据特征方程的两个根的不同情况，写出微分方程的通解

函数 r x y e 1 1= 、 r x y e 2 2 = 是方程的解 又 r r x r x r x e e e y y ( ) 2 1 1 2 2 1 − = = 不是常数 因此方程的通解为 r x r x y C e 1 C e 2 = 1 + 2  (2)特征方程有两个相等的实根 r1=r2 时 函数 r x y e 1 1= 、 r x y xe 1 2 = 是二阶常系数齐次线性 微分方程的两个线性无关的解 这是因为 r x y e 1 1= 是方程的解 又 r x r x r x r x r x r x x e 1 p x e 1 q x e 1 r x r e 1 p x r e 1 qxe 1 ( ) ( ) ( ) (2 ) (1 )1 2 + + = 1+ 1 + + + (2 ) ( 1 ) 0 2 1 1 =e 1 r + p +xe 1 r + pr +q = r x r x  所以 r x y xe 1 2 = 也是方程的解 且 x e xe y y r x r x = = 1 1 1 2 不是常数 因此方程的通解为 r x r x y C e 1 C xe 1 = 1 + 2  (3)特征方程有一对共轭复根 r1, 2=i 时 函数 y=e (+i)x、y=e (−i)x是微分方程的两个线 性无关的复数形式的解 函数 y=e x cosx、y=e x sinx 是微分方程的两个线性无关的实数形式 的解 函数 y1=e (+i)x和 y2=e (−i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得 y1=e (+i)x =e x (cosx+isinx) y2=e (−i)x =e x (cosx−isinx) y1+y2=2e x cosx ( ) 2 1 cos 1 2 e x y y x  = +   y1−y2=2iex sinx ( ) 2 1 sin 1 2 y y i e x x  = −   故 e x cosx、y2=e x sinx 也是方程解 可以验证 y1=e x cosx、y2=e x sinx 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y=e x (C1cosx+C2sinx ) 求二阶常系数齐次线性微分方程 y+py+qy=0 的通解的步骤为 第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr+q=0 第二步 求出特征方程的两个根 r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解

例1求微分方程y”-2y-3=0的通解 解所给微分方程的特征方程为 2-2r-3=0.即(r+1)(r-3)=0. 其根n=-1,=3是两个不相等的实根，因此所求通解为 =Cie+Cze 例2求方程y"+2y+=0满足初始条件儿=4、y儿-=-2的特解。 解所给方程的特征方程为 2+241=0,即(41)2=0 其根n=n=-1是两个相等的实根，因此所给微分方程的通解为 1=(C1+C2xe 将条件=4代入通解，得C=4,从而 =(4+C2x)e 将上式对x求导，得 1y/'=(C2-4-C2x)e 再把条件y==-2代入上式，得C=2.于是所求特解为 x(4+2x)e 例3求微分方程y"-2y+5=0的通解 解所给方程的特征方程为 2-245=0. 特征方程的根为n=1+2,2=1-2,是一对共轭复根， 因此所求通解为 y=e(Cicos2x+Czsin2x). ”阶常系数齐次线性微分方程：方程 m+pmym-4py-2+.+pm-y+p网=0， 称为n阶常系数齐次线性微分方程，其中pm,pm,·,Pm-1,Pm都是常数. 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式，可推广到n阶常系数 齐次线性微分方程上去 引入微分算子D,及微分算子的n次多项式： L(D)=D+pnD"-1+pz D+.+p-D+pn 则阶常系数齐次线性微分方程可记作 (D+pmD-+pmD-2+.+pm-D+pm办=0或L(D=0 注：D叫做微分算子D=5D=y,D=y,D=y",.D=m 分析：令=e则 L(D)=L(D)e=(+pp+.+ps-urtpa)e=L(r)e 因此如果r是多项式L()的根，则=是微分方程L(D=0的解

例 1 求微分方程 y−2y−3y=0 的通解 解 所给微分方程的特征方程为 r 2−2r−3=0 即(r+1)(r−3)=0 其根 r1=−1 r2=3 是两个不相等的实根 因此所求通解为 y=C1e −x +C2e 3x  例 2 求方程 y+2y+y=0 满足初始条件 y|x=0=4、y| x=0=−2 的特解 解 所给方程的特征方程为 r 2+2r+1=0 即(r+1)2=0 其根 r1=r2=−1 是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为 y=(C1+C2x)e −x  将条件 y|x=0=4 代入通解 得 C1=4 从而 y=(4+C2x)e −x  将上式对 x 求导 得 y=(C2−4−C2x)e −x  再把条件 y|x=0=−2 代入上式 得 C2=2 于是所求特解为 x=(4+2x)e −x  例 3 求微分方程 y−2y+5y= 0 的通解 解 所给方程的特征方程为 r 2−2r+5=0 特征方程的根为 r1=1+2i r2=1−2i 是一对共轭复根 因此所求通解为 y=e x (C1cos2x+C2sin2x) n 阶常系数齐次线性微分方程 方程 y (n) +p1y (n−1)+p2 y (n−2) +    + pn−1y+pny=0 称为 n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2      pn−1 pn 都是常数 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到 n 阶常系数 齐次线性微分方程上去 引入微分算子 D 及微分算子的 n 次多项式 L(D)=Dn +p1D n−1+p2 D n−2 +    + pn−1D+pn 则 n 阶常系数齐次线性微分方程可记作 (Dn +p1D n−1+p2 D n−2 +    + pn−1D+pn)y=0 或 L(D)y=0 注 D 叫做微分算子 D0 y=y Dy=y D2 y=y D3 y=y   D n y=y (n)  分析 令 y=e rx  则 L(D)y=L(D)e rx =(r n +p1r n−1+p2 r n−2 +    + pn−1r+pn)e rx =L(r)e rx  因此如果 r 是多项式 L(r)的根 则 y=e rx是微分方程 L(D)y=0 的解