《高等数学》课程教学资源（导学单）4、中值定理

第三章徽分中值定理导数的应用 教学目的与要求 掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理。 2了解柯西中值定理和泰勒中值定理 一、中值定理，泰勒公式（放入泰物级数中讲） 1.罗尔定理 如f()满足： (1)在a,b连续 (2)在(a,b)可导 (3)f(a)=fb)则至少存在一点ξ∈(a,b) 使f()=0 例设g(x)=xx+12x+3x-,则 在区间(-1,0)内，方程g(x)=0 有2个实根：在(-1,1)内g”(x)=0有2个根 例设f(x)在o,1]可导，且f0)=f0)=0, 证明存在n∈(0,1)使f(n)+nf(n)=0。 证：设Fx)=xf(x)在[a,b]可导，FO)=F) ·存在ne(0,1)使F(n)=0即f()+nf()=0 例设f(x)在[o,1可导，且f0)=f0)=0, 证明存在nF)+F()=0。 解：设F(x)=ef(x),且FO)=F)由罗尔定理 存在n使F(n)=0即ef(n)+ef'(n)=0, 亦即f(n)+f(n)=0 例习题6 设FN)=fx)N)(复合函数求导) 2、拉格朗日中值定理

第三章微分中值定理导数的应用 教学目的与要求 1 掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理。 2 了解柯西中值定理和泰勒中值定理 一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理 如 f(x) 满足： （1）在 a,b 连续. （2）在 (a,b) 可导. （3） f(a)= f(b) 则至少存在一点 (a,b) 使 f ( ) 0 /  = 例 设 g(x) = x(x +1)(2x +1)(3x −1) ，则 在区间（-1，0）内，方程 g (x) 0 / = 有 2 个实根；在（-1，1）内 g (x) 0 // = 有 2 个根 例 设 f(x) 在[0，1]可导，且 f(0)= f(1)= 0 ， 证明存在 (0,1) ，使 f( ) f ( ) 0 /  +   = 。 证： 设 F(x) = xf(x) 在[a,b]可导， F(0) = F(1) ∴ 存在 (0,1) 使 F ( ) 0 /  = 即 f( ) f ( ) 0 /  +   = 例 设 f(x) 在[0，1]可导，且 f(0) = f(1) = 0, 证明存在  F( ) F ( ) 0 /  +  = 。 解: 设 F(x) e f(x) x = ，且 F(0)= F(1) 由罗尔定理 存在  使 F ( ) 0 /  = 即 e f( ) e f ( ) 0 /  +  =   ， 亦即 f( ) f ( ) 0 /  +  = 例 习题 6 设 ( ) ( ) g(x) F x = f x e （复合函数求导） 2、 拉格朗日中值定理

如f(x)满足：①在[a,b]连续：②在(a,b)连续， 则存在ξ∈(a,b) 使fb)-fa)=f(Eb-a). 推论：①如果在区间I上r/(x)=0,则f(x)=c (②如果在区间I上f(x)>0(0.E明产<h0+kx 求导证明 作业：见各章节课后习题。 三、秦勒公式 一、多项式： Px)=a,+a,-x)+a(-x)2+.+a,(x-)月 在点的各阶导数： P(xo)=ao

如 f(x) 满足：①在[a,b]连续；②在（a,b）连续， 则存在 (a,b) 使 f(b) f(a) f ( )(b a) / − =  − 。 推论：⑴ 如果在区间 I 上 f (x) 0 /  ，则 f(x) = c ⑵ 如果在区间 I 上 f (x) 0 ( 0) /   ， f(x) 在Ｉ单增（减） 例 对任意满足 x 1 的 x， 都有 4 arcsin x 2 1 1 x 1 x arctg  + = + − 设 ( ) arcsin x 2 1 1 x 1 x f x arctg + + − = ∵ ( ) ( ) 0 1 x 1 2 1 1 x 2 1 x 1 x 2 1 1 x 1 x 1 1 f x 2 2 / = − + + −  + −  + − + = 0 2 1 x 1 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 2 1 2 2 2 = − + +  − +  + = −  ∴ f(x)= c ∵ ( ) 4 f 0  = ∴ ( ) 4 f x  = 例 设 (x  0) ，证明 ln(1 x) x 1 x x  +  + 求导证明 作业：见各章节课后习题。 三、泰勒公式 一、多项式： n n P(x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 0 1 0 2 0 = + − + − ++ − 在点的各阶导数： 0 0 P(x ) = a

P'(xo)=a P"(xo)=2a2 p(m)(x)=nka 角：a,-,) P附=a+kXx-+-++ 2 fx- 二、泰勒中值定理： 如果函数f(x)在含有x。的某个开区间(a,b)有直到(n+)阶的导数，则对任一 xe(a,b)有： 1、(N阶泰勒公式) fG)=f)+P(Xx-)+(x- 2川 x-r+R国 R(x)称为余项。 ①R闭=且x-”(5在与x之间 拉格朗日型余项 (2)R(x)=O(x-x)”]皮亚诺余项 2、当x0=0得麦克劳林公式：

0 1 P'(x ) = a 0 2 2 P' '(x ) = a    n n P (x0 ) = n!a ( ) 得： ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n = = + − + − ++ 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ''( ) ( ) '( )( ) x x f x P x a f x x x n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) − 二、泰勒中值定理： 如果函数 f (x) 在含有 0 x 的某个开区间 (a,b) 有直到 (n +1) 阶的导数，则对任一 x  (a,b) 有： 1、（N 阶泰勒公式） = + − + − ++ 2 0 0 0 0 0 ( ) 2! ''( ) ( ) ( ) '( )( ) x x f x f x f x f x x x ( ) ( ) ! ( ) 0 0 ( ) x x R x n f x n n n − + R (x) n 称为余项。 （1） 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x  （  在 0 x 与 x 之间） 拉格朗日型余项 （2） ( ) [( ) ] 0 n n R x = o x − x 皮亚诺余项。 2、当 x0 = 0 得麦克劳林公式：

f=j0+0x+f0r++ 21 Ox+R闭 三、常见函数的泰勒展开 1)y=e' e=l+x+ x∈R(0<0<1) 2)y=sinx 号r 2m-+R仞x∈R 3)y=cosx y=(1+x)°

= + + ++ 2 2! ''(0) ( ) (0) '(0) x f f x f f x ( ) ! (0) ( ) x R x n f n n n + 三、常见函数的泰勒展开 1) x y = e 1 2 2! ! ( 1)! 1 +  + = + + + + + n n x x x n e n x x e x   xR (0  1) 2) y = sin x ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 1 1 3 5 R x m x x x x x n m m + − = − + − + − −  − xR 3) y = cos x a y = (1+ x)