《高等数学》课程教学资源（补充提高）第一章 函数与极限

第一章函数的极限与函数的连续性 一、学习目的与要求 1、了解函数极限的e一6定义，会用它证明一些简单函数的极限。 2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 3、掌握极限运算法则：了解两个极限存在准则：会用两个重要极限求极限。 4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型 5、了解在闭区间上连续函数的性质。 二、学习重点 函数极限的概念及计算 三、内容提要 1、数列极限与函数极限 )概念综过 型 定义式 说明 lim f(x)=a 36>0,当xe(,x。+δ时 a为有 限值， lim f(x)=a 36>0,当x∈(0-6,时 If(x)-aki U(x,8) 为 lim f(x)=a v>0 36>0,当xeU(xo,6时 与 (xo2xo+8) 之并 lim x.=a 3N>0.当n>W时 lim f(x)=a 3X>0,当r>时 VE>0 lf(x)-ak lim f(x)=a 3X>0,当x0当IxbX时 (Ⅱ)极限的主要性质 设u,v表示数列变量x,或函数变量，在同一个极限过程中mu=A,imv=B,该极限过程可 以是数列极限或函数极限中的任一种，A、B、a、B是常数，则极限有以下性质。 运算性质 线性规则：im(au+)=almu+Blmv 乘积规则：lmv=lim alim y 商规则：m”=mu/mmv≠0) 比较性质(1)若u≥v,则mu≥mv

1 第一章 函数的极限与函数的连续性 一、学习目的与要求 1、了解函数极限的ε—δ定义，会用它证明一些简单函数的极限。 2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。 4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。 5、了解在闭区间上连续函数的性质。 二、学习重点 函数极限的概念及计算 三、内容提要 1、数列极限与函数极限 （I）概念综述 类型 定义式 说明 趋 于 定 值 a f x a x x = → + lim ( ) 0   0   0,当x(x0 , x0 +  )时 | f (x) − a |  0 a, x 为 有 限值， ( , ) U x0   为 ( , ) 0 0 x − x 与 ( , ) x0 x0 + 之并 f x a x x = → − lim ( ) 0   0,当x(x0 −  , x0 )时 f x a x x = → lim ( ) 0  0,当x U(x0 , )时     趋 于 无 穷 大 xn a n = → lim   0 N  0,当n  N时 | f (x) − a |  将“  ”换 作“+  ” 或“-  ” 时，则得到 正无穷大， 负无穷大 的定义。 f x a x = →+ lim ( ) X  0,当x  X时 f x a x = →− lim ( ) X  0,当x  −X时 f x a x = → lim ( ) X  0,当| x | X时 （II）极限的主要性质 设 u,v 表示数列变量 n x 或函数变量，在同一个极限过程中 limu = A,lim v = B, 该极限过程可 以是数列极限或函数极限中的任一种,A、B、 a 、  是常数，则极限有以下性质。 运算性质 线性规则： lim( au + v) = alim u +  lim v 乘积规则： lim uv = lim ulim v 商规则： lim = lim u / lim v(lim v  0) v u 比较性质 （1）若 u ≥ v ，则 lim u ≥ lim v

(2)若mu≥mv,则在某个范围X上有u>v 有界性质 (1)若x}收敛，则化，}有界 (2)若1mu=A,则u(x在某个范围X上有界 存在性质 )单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列 注X的形式与极限过程相关，当、是数列时，X=m≥，N是某个自然数 当4、v是函数变量，极限过程是x→后时，X=(。-6,),极限过程是 x→x,时，X=Uxo,6),其余类推。 ()基本极限公式 m0 im(=e. m(Wn+i-√m=0, limlim =l(a20) +n-)号 m(-)”不存在 lim(1+x)=e. m0+-e m=1 ®牛 g”1 sin0. me不存在。 马不#在， (IV)极限之间的联系 1)mf)=A台mf)=A=mf) (2)mf)=A台mf)=mf)=A (3)mf)=A台对任意趋于的数列x,有mfx)=A 2.无穷小量与无穷大量 无穷小量在指定极限过程中以零为极限的变量

2 （2）若 lim u ≥ lim v ，则在某个范围 X 上有 u v 有界性质 （1）若 { }n x 收敛，则 { }n x 有界 （2）若 lim u(x) = A ，则 u(x) 在某个范围 X 上有界。 存在性质 （1）单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。 （2）夹逼准则：若 u ≤  ≤ v ，且 u 、v 趋于 A，则  亦趋于 A（三个 变量 u 、 v 、 极限过程相同）。 注 X 的形式与极限过程相关，当 u 、v 是数列时， X ={n | n ≥ N}，N 是某个自然数； 当 u 、 v 是 函 数 变 量 ， 极 限 过 程 是 → − 0 x x 时 ， ( , ) 0 0 X = x −  x ，极限过程是 , ( , ) x x0 X U x0   → 时 = ，其余类推。 （III）基本极限公式 e n n n n n = + = → → ) 1 0, lim (1 1 lim ， lim ( +1 − ) = 0, lim = lim =1(  0) → → → n n n a a n n n n n n n n n n n , lim ( 1) 2 1 lim ( ) 2 + − = − → → 不存在 ) , 1 lim (1 ) , lim (1 1 0 e x x e x x x x + = + = → → 1, 1 1, lim sin lim 0 0 = − = → → x e x x x x x 0, 1 1, lim sin ln(1 ) lim 0 0 = = + → → x x x x x x x x e 1 0 lim → 不存在， x x x | | lim →0 不存在。 （IV）极限之间的联系 （1） lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 f x A f x A f x x x x x x x → → + → − =  = = （2） lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A. x x x =  = = → →+ →− （3） =  → f x A x x lim ( ) 0 对任意趋于 0 x 的数列 n x ，有 f xn A n = → lim ( ) 2．无穷小量与无穷大量 （I）概念 无穷小量 在指定极限过程中以零为极限的变量

无穷大量在指定极限过程中趋于无穷大的变量 u=o(y)表示u是较v高阶的无穷小量，即imu=0 u=O()表示u与v是同阶的无穷小量，即muly=a,a是非零常数。 u~V 表示u与v是等价无穷小量，即mu/v=1 无穷小的主部设a,r为常数，a≠0，r>0,若u(x)=+o(x'(x→0)，则说ar是(x)的 主部，x称作基本无穷小，r称作和关于x的阶数。 (I川)运算性质 设“、v是无穷小量，B为有界变量，。为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算， 有w生B心后均是无穷小量。 （2)u+@,B+@,u≠0)均是无穷大量. ()等价无穷小替换原理 设w,则muo=ma,m。=mg (V)常用等价替换公式 在寻求无穷小量“的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果（其中”、可以是函 数变量如snhx→，ex→+网)，也可以是数列，如x,=n+i-瓜x,=h+”等 等)： 积与商若u~v,则uo~v,o1u~o ,若0=o(0 和u+)~ r+o若若l-lua~o 常用公式设→0，则 sin u tan u arcsin u~arctan u~In(1+u)~e"-1~u 1-cosu~,+r-l~aa是常数，。-1~uhdfa>0,u-snu~ 3.函数的连续性 (1)概念 f(x)在一点x连续 函数fx)在的某个领域(。-6,0+)上有定义， 且lmfx)=f(xo)。 fx)在一点左（右）连续函数fx)在的某个左（右）邻域

3 无穷大量 在指定极限过程中趋于无穷大的变量 u = o(v) 表示 u 是较 v 高阶的无穷小量，即 lim u / v = 0 u = O(v) 表示 u 与 v 是同阶的无穷小量，即 lim u/v = a,a 是非零常数。 u ~ v 表示 u 与 v 是等价无穷小量，即 lim u / v =1 无穷小的主部 设 a,r 为常数， a  0,r  0, 若 u(x) = ax + o(x )(x → 0) r r ，则说 ax u(x) r是 的 主部， x 称作基本无穷小， r 称作 u 关于 x 的阶数。 （II）运算性质 设 u 、 v 是无穷小量， B 为有界变量，  为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算， 有（1）  1 u  v,uB,u  v, 均是无穷小量。 （2） ( 0) 1 + , + , u  u u  B  均是无穷大量。 （III）等价无穷小替换原理 设 u ~ v，则 u v u v   lim  = lim ,lim = lim 。 （IV）常用等价替换公式 在寻求无穷小量 u 的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果（其中 u 、v 可以是函 数变量如 sin ln ( →1), ( →+) − x x e x x ，也可以是数列，如 n n x n n x n n + = + − = 1 1 , ln 等 等）； 积与商 若 u ~ v ，则 u ~ v,/u ~/v 和     →  −      +  = +       , 1, ~ , ~ , ( ) ~ l u u u u u o u u 若 若 常用公式 设 u → 0 ，则 u u u u u e u u sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ~ ln(1+ ) ~ −1 ~ , 2 1 1 cos ~ 2 − u u (1 u) 1~ au(a是常数), a + − 3 6 1 a 1~ uln a(a 0),u sin u ~ u u −  − 3．函数的连续性 （I）概念 f (x) 在一点 0 x 连续 函数 f (x) 在 0 x 的某个领域 ( , ) , x0 −  x0 +  上有定义 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 且 。 f (x) 在一点 0 x 左（右 ） 连 续 函 数 f (x) 在 0 x 的 某 个 左 （ 右 ） 邻 域

(x。-6,xX(xo,x。+8》上有定义，且mfx)=f(xXm.f(x)=f(x f(x)在(a,b)连续函数f(x)在(a,b)内的每个点连续。 fx)在[a,b]上连续函数fx)在(a,b)连续，且在左端点a右连续，右端点b左连续。 间断点当mf(x)=f(xo)不成立时，称fx)于x=x处间断，间断点。可分为以下 几种类型： 名称 特征 第一类可去间断点f)与fx)f)=x对)但与x)不等 跳跃何间断点 均存在 fx6)≠fx) 第二类 fx)与f(x)至少有一个不存在 ()主要性质 (1)若f(x)g)均在点连续，则fx)±g(x),fx)g(x),fx)/g(x),(g(x6)≠0)也在 点连续：若f()有定义，p)在1=连续，fx)在x=p(,)连续，则f(0)在 1=1连续。 (2)局部保号性若fx)在n连续，fo)>a则在x的某邻域U(x,6)上fx)>a (3)若y=fx)的反函数为x=f),且fx)在x连续，则(y)在y。=f(x)连 。 (4)基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。 ()闭区间上连续函数的性质 设函数)在闭区间[a,个上连续，则有 (1)fx)在[a,)]上有界并取得最大值与最小值（最值定理）。 (2)若fa)fb)0,存在6<0，当x,y∈[a,b]满足|x-yk6 时便有1f(x)-fy)ke。 四、思考题 1小、在函数极限m(x)=A的定义中，回答下列问题 (1)为什么e要任意给定？

4 ( , )(( , )) x0− x0 x0 x0 + 上有定义，且 lim ( ) ( )( lim ( ) ( )). 0 0 0 0 f x f x f x f x x x x x = = → − → + f (x) 在 (a,b) 连续 函数 f (x)在(a,b) 内的每个点连续。 f (x) 在 [a,b] 上连续 函数 f (x) 在 (a,b) 连续，且在左端点 a 右连续，右端点 b 左连续。 间断点 当 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 不成立时，称 f (x) 于 0 x = x 处间断，间断点 0 x 可分为以下 几种类型： 名称 特 征 第一类 可去间断点 ( ) 0 − f x 与 ( ) 0 + f x 均存在 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x f x 但与f x − + = 不等 跳跃间断点 ( ) ( ) 0 0 − + f x  f x 第二类 ( ) 0 − f x 与 ( ) 0 + f x 至少有一个不存在 （II）主要性质 （1）若 f (x),g(x) 均在点 0 x 连续，则 f (x)  g(x), f (x) g(x), ( )/ ( ),( ( ) 0) f x g x g x0  也在 点 0 x 连续；若 f ((t)) 有定义， 0 (t)在t = t 连续， f (x) 在 ( ) 0 0 x = t 连续，则 f ((t)) 在 0 t = t 连续。 （2）局部保号性 若 f (x) 在 0 x 连续, 0 0 f (x )  a则在x 的某邻域 U(x , ) f (x)  a 0  上  （3）若 y = f (x) 的反函数为 ( ) 1 x f y − = ，且 f (x) 在 0 x 连续，则 ( ) ( ) 0 0 1 f y y = f x − 在 连 续。 （4）基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。 （III）闭区间上连续函数的性质 设函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则有 （1） f (x) 在 [a,b] 上有界并取得最大值与最小值（最值定理）。 （2）若 f (a) f (b)  0, 则存在  (a,b)使f ( ) = 0 （零点存在定理）。 （3）若实数 A 在 f (a), f (b) 之间，则存在  (a,b)使f () = A （介值定值）。 （4） f (x)在[a,b] 上一致连续，即任给   0,存在  0,当x, y[a,b]满足 | x − y |  时便有 | f (x) − f (y)|  。 四、思考题 1、在函数极限 f x A x x = → lim ( ) 0 的定义中，回答下列问题: （1）为什么ε要任意给定？

(2)对于给定的®，对应的8是否唯一？若不唯一，是否要找其中最小的？ (3)定义中两个不等式0<|x0|<5,|x)-A|<e各表示什么意思，它们之间有什么 联系？ 2、若极限mfx)存在，同 (1)∫(x)在x=处是否一定有定义？(2)f(x)在附近是否有界？ 3、若mf)存在，m)不存在，间： (1)mf()±g(x]是否一定不存在？(2)Im[fx)g(x】是否一定不存在？ 4、下列说法是否正确，为什么？ (1)若函数∫(x)在点有极限，则f(x)在点连续： (2)函数在定义域内必处处连续： (3)函数在一点处左右极限都存在而且相等，则此点一定是函数的可去间断点： (4)若函数f(x)在(a,b)连续，则在(a,b)内函数f(x)存在着最大值和最小值。 5设f(x)和g(x)在和点处连续，问f(x)+gx)和f(x)g(x)在0点是香连续？ 五、典型例题分析 例1设f(x)=mm(4x+1,x+2,4-2x),求f(x)的最大值 解这道题用作图法最简单，如图所示，在同一坐标系下，作三直线 y=4x+1,y=x+2,y=4-2x,从图上可见 4x+1,-0<xs1/3 fx)=x+2,1/3<x≤2/3， 4-2x,2/3<x<+0 因此，的最大位是写-骨 13 州：稠定又马一号 33 新111-1-<x,为树州 x-12x+1221+G20+

5 （2）对于给定的ε，对应的δ是否唯一？若不唯一，是否要找其中最小的？ （3）定义中两个不等式 0<︱x-x0︱<δ,︱ f (x) − A ︱<ε各表示什么意思，它们之间有什么 联系？ 2、若极限 lim ( ) 0 f x x→x 存在，问： （1） f (x) 在 x=x0 处是否一定有定义？（2） f (x) 在 x=x0 附近是否有界？ 3、若 lim ( ) 0 f x x→x 存在， lim ( ) 0 g x x→x 不存在，问： （1） lim [ ( ) ( )] 0 f x g x x x  → 是否一定不存在？（2） lim [ ( ) ( )] 0 f x g x x x  → 是否一定不存在？ 4、下列说法是否正确，为什么？ （1）若函数 f (x) 在点 x0 有极限，则 f (x) 在点 x0 连续； （2）函数在定义域内必处处连续； （3）函数在一点处左右极限都存在而且相等，则此点一定是函数的可去间断点； （4）若函数 f (x) 在（a,b）连续，则在（a,b）内函数 f (x) 存在着最大值和最小值。 5、设 f (x) 和 g(x) 在 x0 点处连续，问 f (x) + g(x) 和 f (x) g(x) 在 x0 点是否连续？ 五、典型例题分析 例 1 设 f (x) = min( 4x +1, x + 2,4 − 2x) ，求 f (x) 的最大值. 解 这道题用作图法最简单，如图所示，在同一坐标系下，作三直线 y = 4x +1, y = x + 2, y = 4 − 2x ，从图上可见      −   + +   + −    = x x x x x x f x 4 2 , 2 / 3 2, 1/ 3 2 / 3 4 1, 1/ 3 ( ) ， 因此， f (x) 的最大值是 3 8 ) 3 2 f ( = 例 2 利用定义证明 2 1 1 1 lim 1 = − − → x x x 分析 2 1 (1 ) 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 −  + − = + − − = + − = − − x x x x x x x x ，为使 3 1 3 2 x y

原-，w号，112，取同 证对于任给的e>0,存在8=2e,当0<|x-1|<6时 -11k-1-到<G -220+<2 恒成立，所以 例3求x-1 -1 分析在极限运算中，运用恒等变换是个重要的手段，尤其是分子分母的极限都是零时（称 吕，或都是无男大树稀二型不能能用受限运京法则®爱先作红等变热，木 愿是“。”型的极限，可将原分子、分母有理化。再消去极限为零的因子。 (W+1(V+)_4 例4求im(x-V1+x+x2) 分析这是属于“一∞”型的极限，不能直接用极限的四则运算法则，而往往利用通分 乘共靶因式减三角恒等变形等方法。变为8”望或“受”型，再求极限。 -(+) 1 解mc+x+思++x+)1+,++ 例5判断函数y=e当x一0时极限的存在性 分析当x一0时，是以任何方式趋于零，所以应考虑一0，x一0两种情况，才能作出判断 解当0时， -于是mc==0 ex 当一0时，1→+0，于是国e2=0,所以吧e不存在 6

6 2 1 1 1 − − − x x 0，存在δ=2ε，当 0<︱ x −1 ︱<δ时   −  + − − = − − 2 1 (1 ) 1 2 1 2 1 1 1 2 x x x x x 恒成立，所以 2 1 1 1 lim 0 = − − → x x x x 例 3 求 1 1 lim 4 3 1 − − → x x x 分析 在极限运算中，运用恒等变换是个重要的手段，尤其是分子分母的极限都是零时（称 0 0 型），或都是无穷大时（称   型），不能直接用极限运算法则，总要先作恒等变换。本 题是“ 0 0 ”型的极限，可将原分子、分母有理化，再消去极限为零的因子。 解 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1) lim 1 1 lim 3 2 3 4 4 1 3 1 − + + − + + = − − → → x x x x x x x x x x = 3 4 ( 1) ( 1)( 1) lim 3 2 3 4 1 = + + + + → x x x x x 例 4 求 lim ( 1 ) 2 x x x x − + + →+ 分析 这是属于“  —  ”型的极限，不能直接用极限的四则运算法则，而往往利用通分、 乘共轭因式或三角恒等变形等方法，变为“ 0 0 ”型或“   ”型，再求极限。 解 lim ( 1 ) 2 x x x x − + + →+ = ( 1 ) (1 ) lim 2 x x x x x + + + − + →+ = 2 1 1 1 1 1 1) 1 ( lim 2 = − + + + − + →+ x x x x 例 5 判断函数 x y e 1 = 当 x→0 时极限的存在性 分析 当 x→0 时，是以任何方式趋于零，所以应考虑 x→0 -，x→0 +两种情况，才能作出判断。 解 当 x→0 -时， → − x 1 ， − → + x 1 于是 0 1 lim lim 1 0 1 0 = = → → − − − x x x x e e 当 x→0 +时， → + x 1 ，于是 = + → + x x e 1 0 lim ，所以 x x e 1 0 lim → 不存在

a+元x之0在0处的极限存在。 例6求a的值，使函数f)=P,x<0 分析函数f(x)当一和时极限存在的充要条件是左极限和右极限各自存在且相等，即 lim f(x)=lim f(x) 这一结论是求极限以及证明极限不存在的有力工具，特别是求分段函数在分段点处的极 限时用得较多。 解因为mf)=me=e=l,册f)=m(a+=a 所以当1时，mf(x)=1 例7求品 分析由于极限过程是x一0，分式含三角函数，属“。”型，因而想到应用重要极限 s 解马-典=9 x ag-d“2 -lim cosx xx 在以上解题过程中，运用了等价无穷小替代以求极限，应熟记以下公式： 另外必须注意的是，应该用分子或分母的整体或部分因子的等价无穷小进行代替。 例8求授 分析极限过程是x一0，属“1”型，因而容易想到应用重要极限m(1+=e。 1+ 解法1典设产= +点 03oe

7 例 6 求 a 的值，使函数    +   = , 0 , 0 ( ) a x x e x f x x 在 x=0 处的极限存在。 分析 函数 f (x) 当 x→x0 时极限存在的充要条件是左极限和右极限各自存在且相等，即 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x → − → + = 这一结论是求极限以及证明极限不存在的有力工具，特别是求分段函数在分段点处的极 限时用得较多。 解 因为 lim ( ) lim 1 0 0 0 = = = → − → − f x e e x x x ， f x a x a x x = + = → + → + lim ( ) lim ( ) 0 0 所以 当 a=1 时， lim ( ) 1 0 = → f x x 例 7 求 x x x x 3 0 sin tan sin lim − → 分析 由于极限过程是 x→0，分式含三角函数，属“ 0 0 ”型，因而想到应用重要极限 1 sin lim 0 = → x x x 。 解 x x x x x x x x x x x x x cos sin (1 cos ) lim tan sin lim sin tan sin lim 3 0 3 0 3 0 − = − = − → → → = 2 sin 2 1 cos 1 ) lim sin 1 cos cos 1 lim ( 2 2 0 2 0 =   = −   → → x x x x x x x x x x x x 在以上解题过程中，运用了等价无穷小替代以求极限，应熟记以下公式： 当 x→0 时，sinx~x~tanx~arcsinx~ln(1+x)~ex -1，1-cosx~ 2 2 x ， x x  (1+ ) −1 ~ 另外必须注意的是，应该用分子或分母的整体或部分因子的等价无穷小进行代替。 例 8 求 x x x x 2 lim ( )   − + → 分析 极限过程是 x→  ，属“  1 ”型，因而容易想到应用重要极限 e x x x + = → ) 1 lim (1 。 解法 1 x x x x x x x x 2 2 ) 1 1 lim ( ) lim (     − + = − + → → =          4 2 2 ( 2 ) 2 (1 ) (1 ) lim e e e x x x x x = = − + − −  −  →

法！2产=0+品会产-0+宁 =@0+2a)0+2产=e如1=e x-0 例9求m(W-1以东+3)- 分析此题属“0-0”型，可先作恒等变换将其化为“。”型或“”型，再求极限。 解m(-在+到-)=m (F-I(+3)-x V(-l(+3)+V 2Wx-3 2、3 典不-W+3+左 x =1 例10求m号+acan) 分析当一0时，Cr一一子，所以极限属“00”型，一时不知如何下手。如果利用 变量代换为三角函数的极限，也许有可能求得极限 解令a时可则国，当一0时一子 (写+功smy 原号+anm动=m号+功-2cy ma+列 -lim sin y 1(-1)=-1 例Ⅱ求下列函数的间断点，并指出间断点的类型： (+0x50 0=2-1 (2)f(x)= 2+1 sm-4>0

8 解法 2 x x x x x x x 2 2 ) 2 lim ( ) lim (1     − = + − + → → =       4 2 2 ) 2 lim (1  + − → − + x x x =           2 4 2 4 4 ) 1 2 ) ] (1 2 lim[(1 e e x x x x =  = −  + − + − → 例 9 求 lim ( ( x 1)( x 3) x) x − + − →+ 分析 此题属“  −  ”型，可先作恒等变换将其化为“ 0 0 ”型或“   ”型，再求极限。 解 lim ( ( x 1)( x 3) x) x − + − →+ = x x x x x x x − + + − + − →+ ( 1)( 3) ( 1)( 3) lim = x x x x x − + + − →+ ( 1)( 3) 2 3 lim = 1 ) 1 3 )(1 1 (1 3 2 lim = − + + − →+ x x x x 例 10 求 arctan ) 2 lim x( x x + →−  分析 当 x→- 时，arctanx→ 2  − ，所以极限属“ 0 ”型，一时不知如何下手。如果利用 变量代换为三角函数的极限，也许有可能求得极限。 解 令 actanx=y，则 x=tany。当 x→— 时，y→ 2  − 。 y y y x x y y y y x cos )sin 2 ( ) lim 2 arctan ) lim tan ( 2 lim ( 2 2 + + = + = →− →− →−      = y y y y y y x y y lim sin ) 2 sin( 2 ] lim 1 sin ) 2 sin( 2 lim [ 2 2 2        →− →− →−  + +  = + + =1·（-1）= -1 例 11 求下列函数的间断点，并指出间断点的类型： （1） 2 1 2 1 ( ) 1 1 + − = x x f x ； （2）         −  + = , 0 4 sin , 0 2 cos (1 ) ( ) 2 x x x x x x f x  

分析如何求一个函数的间断点？如果所考虑的函数是初等函数，则其无定义的点（在此 点的任何邻域内总有异于它而属于函数定义域的点)就是间断点：如果是分段函数，则 分段点可能为间断点。如何判断间断点的类型？对于分段函数的分段点，常用左、右极 限去判断：如果间断点是使函数表达式中分式的分母为零的点，则要注意该点是否也使 分子为零，如果是这样，该点很可能是可去间断点。 解(1)在x=0处，f(x)无定义，在x=0的任何邻域内均有异于0而属于f(x)的定义域的 点，所以x=0是(x)的间断点。 由于 21=-1 2+1 1+2 2+1 所以0是f(x)的第一类不可去间断点，即跳跃间断点。 (2)这是一个分段函数，=0是分段点。 时票0典如4号 即)=即0+.0 所以=0是f(x)的第一类不可去间断点，即跳跃间断点。 当0时，)=如，”4它在2的任何邻线内均有异于而属于函数定义线 的点，所以2是函数)的间断点，又由s如，二4不存在，所以2是函数/) 的第二类间断点。 当0时，)=+到，显然不=，3,5，.是函数国)的间断点，又由于 w号 Γ元 所以1是f(x)的可去间断点，又由于当=-3,5，.时，mf()=0,所以3， -5,.都是函数f(x)的无穷间断点

9 分析 如何求一个函数的间断点？如果所考虑的函数是初等函数，则其无定义的点（在此 点的任何邻域内总有异于它而属于函数定义域的点）就是间断点；如果是分段函数，则 分段点可能为间断点。如何判断间断点的类型？对于分段函数的分段点，常用左、右极 限去判断；如果间断点是使函数表达式中分式的分母为零的点，则要注意该点是否也使 分子为零，如果是这样，该点很可能是可去间断点。 解（1）在 x =0 处， f (x) 无定义，在 x =0 的任何邻域内均有异于 0 而属于 f (x) 的定义域的 点，所以 x =0 是 f (x) 的间断点。 由于 1 1 2 1 2 lim 2 1 2 1 lim 1 1 0 1 1 0 = + − = + − − − → + → + x x x x x x ， 1 2 1 2 1 lim 1 1 0 = − + − → − x x x 所以 x=0 是 f (x) 的第一类不可去间断点，即跳跃间断点。 （2）这是一个分段函数，x=0 是分段点。 由于 2 2 4 lim ( ) lim sin 2 0 0 = − − = → + → + x f x x x  ， 0 2 cos (1 ) lim ( ) lim 0 0 = + = → − → − x x x f x x x  所以 x=0 是 f (x) 的第一类不可去间断点，即跳跃间断点。 当 x>0 时， 4 ( ) sin 2 − = x f x  ，它在 x=2 的任何邻域内均有异于 x=2 而属于函数定义域 的点，所以 x=2 是函数 f (x) 的间断点。又由 4 lim sin 2 2 − →  x x  不存在，所以 x=2 是函数 f (x) 的第二类间断点。 当 x<0 时， 2 cos (1 ) ( ) x x x f x  + = ，显然 x = -1，-3，-5，.是函数 f (x) 的间断点，又由于 2 cos (1 ) lim 1 x x x x  + →− (x +1) =u 2  令    2 1)] 2 ( 2 sin lim[ 0   − = − → u u u u ， 所以 x= -1 是 f (x) 的可去间断点，又由于当 x0= -3，-5，.时， =  → lim ( ) 0 f x x x ，所以 x= -3， -5，.都是函数 f (x) 的无穷间断点

例卫讨论函数心三口二x的连续性，若有间断点试消别其类型 分新由于医数是二：在和时的表造式因在求照限时、活要专店：的取 值情况，然后再考虑有无间断点。 解 x. 1-x2m 1 下面判别函数的间断点。 m)=mx=l)=m-0=-4 因为 mf(x)≠lmfx), 所以x=1是f(x)的第一类不可去间断点 lim.(x)=lim.(-x)=1.lim.f(x)lim x=-1. 因为 m.fx)≠m.fx, 所以=1是∫(x)的第一类不可去间断点。 例13若函数f(x)在a上连续，a1<2<<n<b,则在1，x上必有一点5，使得 f⑤)=f)+f++1) 分析因为f(x)在a,b上连续，所以f(x)在x1x上连续，且在x1,x]上f(x)取得最大值M 和最小值m,并且m≤f(x,)≤M,i=1,2,n,将以上各式对应相加，运用介值定 理即可得到证明。 证设(x)在x,x上的最大值为M,最小值为m,则m≤f(x)≤M,m≤f(x2)≤ M,m≤f(xn)≤M。将这n个不等式对应相加，得 m≤fx)+fx2)+.+fxn)≤nM

10 例 12 讨论函数 x x x f x n n n 2 2 1 1 ( ) lim + − = → 的连续性，若有间断点试判别其类型。 分析 由于函数 f (x) 是 x x x n n 2 2 1 1 + − 在 n → 时的表达式，因此在求极限时，需要考虑 x 的取 值情况，然后再考虑有无间断点。 解      −  =  = + − = → , 1 0, 1, , 1, 1 1 ( ) lim 2 2 x x x x x x x x f x n n n 下面判别函数的间断点。 lim ( ) lim 1, 1 1 = = → − → − f x x x x lim ( ) lim ( ) 1, 1 1 = − = − → + → + f x x x x 因为 lim ( ) lim ( ), 1 1 f x f x x x → − → +  所以 x=1 是 f (x) 的第一类不可去间断点。 lim ( ) lim ( ) 1, 1 1 = − = − − →− →− f x x x x lim ( ) lim 1, 1 1 = = − + − →− →− f x x x x 因为 lim ( ) lim ( ), 1 1 f x f x x x − + →− →−  所以 x= -1 是 f (x) 的第一类不可去间断点。 例 13 若函数 f (x) 在[a,b]上连续，a<x1<x2<.<xn<b，则在[x1,xn]上必有一点ξ，使得 n f x f x f x f n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + 2 + + =   分析 因为 f (x) 在[a,b]上连续，所以 f (x) 在[x1,xn]上连续，且在[x1,xn]上 f (x) 取得最大值 M 和最小值 m ，并且 m f (x ) M,  i  i = 1,2,  , n ，将以上各式对应相加，运用介值定 理即可得到证明。 证 设 f (x) 在[x1,xn]上的最大值为 M ，最小值为 m ，则 m ≤ ( ) 1 f x ≤M, m≤ ( ) 2 f x ≤ M ,., m ≤ ( ) n f x ≤ M 。将这 n 个不等式对应相加，得 nm ≤ ( ) ( ) ( ) 1 2 n f x + f x ++ f x ≤ nM