《高等数学》课程教学资源（章节练习）第二章练习题

第二章练习题 练习一 一、是非判断题 1、f(x)=f6 [] 2、若fx)在点x处不连续，则fk)不存在。【】 3、若f'(x)不存在，则曲线y=fx)在点x。处无切线。【] 4若=Fx1, 且fx)在x=1处可导，则a=,b= 三、计算 1、讨论y=smx在x=0处的可导性。 2、已知y= ,求y@) 23

27 第二章 练习题 练习一 一、是非判断题： 1、 ( )  ( ) . 0 0  f  x = f x [ ] 2、若 f (x) 在点 0 x 处不连续，则 ( ) 0 f  x 不存在。 [ ] 3、若 ( ) 0 f  x 不存在，则曲线 y = f (x) 在点 0 x 处无切线。 [ ] 4、若 ( )     +  = , 1, 1, 1, 2 e x x x f x x 则 ( )       =  +  =   = ( ) , 1. ( 1) 2 , 1. 2 e e x x x x f x x x [ ] 二、填空题： 1、 设 f (x) 在点 0 x 处可导，则 ( ) ( ) _, 0 0 0 lim =  −  −  → x f x x f x x ( ) ( ) lim . _ 0 0 0 = + − − → h f x h f x h h 2、 曲线 3 4 y = x − 在点 (1,−2) 处的切线方程为_，法线方程为_。 3、 已知 ( )    −   = , 0, , 0, 2 2 x x x x f x 则 f (0) =_。 4 设 ( )    +   = , 1, , 1, 2 ax b x x x f x 且 f (x) 在 x =1 处可导，则 _ _ a = ,b = 。 三、计算： 1、 讨论 y = sin x 在 x = 0 处的可导性。 2、 已知 , 1 3 x y = 求 y (1)

3、设函数()在x=a处连续，fx)=(x-ap(x),求f"(a)。 4、求垂直于直线x-3y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方程。 风.设内-上知子0证男大=1时，间不布在， 0,x=0, (2)、k=2时，f"0)=0:(3)k=3时，f'(x)在x=0处连续

28 3、 设函数 (x) 在 x = a 处连续， f (x) = (x − a)(x) ，求 f (a)。 4、 求垂直于直线 x − 3y +1 = 0 且与曲线 3 1 3 2 y = x + x − 相切的直线方程。 四、设 ( )      =  = 0, 0, , 0, 1 sin x x x x f x k 证明 （1）、 k =1 时， f (0) 不存在； （2）、 k = 2 时 ， f (0) = 0 ；（3）、 k = 3 时， f (x) 在 x = 0 处连续

练习二 一、选择题： 1、设f(x)在点x。处可导，g(x)在点x。处不可导，则在点x。处有 (A)fx)+gx)与f)gx)都不可导： (B)fx)+gx)与fx)gx)都可导： (C)f(x)+g(x)未必不可导，但fx)g(x)一定不可导： (D)f)+gx)一定不可导，但gx)未必不可导。 2、直线1与x轴平行，且与曲线y=x一e'相切，则切点是 (4)1,):(B)（←1)：(C)(0,1):(D)(0,-） 二、填空题 人=m+ox,则图) 2-2+号则0+0 3、f)=xnx,则f(x)= 40=品则f= 5、fx)=10+eo,则f"(x)= 三、求下列函数的导数： y :3、y=(x-ax-bx-c),(a,bc为常 数)：4、y=sinx+ae；5、y=2 tanx:

29 练习二 一、选择题： 1、 设 f (x) 在点 0 x 处可导， g(x) 在点 0 x 处不可导，则在点 0 x 处有 _ 。 （A） f (x)+ g(x) 与 f (x) g(x) 都不可导； （B） f (x)+ g(x) 与 f (x) g(x) 都可导； （C） f (x)+ g(x) 未必不可导，但 f (x) g(x) 一定不可导； （D） f (x)+ g(x) 一定不可导，但 f (x) g(x) 未必不可导。 2、直线 l 与 x 轴平行，且与曲线 x y = x − e 相切，则切点是 _ 。 (A) (1,1) ； (B) (−1,1) ； (C) (0,1) ； (D) (0,−1)。 二、填空题： 1、 y = x sin x + cos x ，则  =       4  y _ ； 2、 ( ) 5 5 3 2 x x f x + − = ，则 f (0)+ f (0) = _ ； 3、 f (x) = xln x ，则 f (x) = _ ； 4、 ( ) t t f t 1 cos sin + = ，则 f (t) = _ ； 5、 ( ) 10 f x 10 e x = + ，则 f (x) = _ 。 三、求下列函数的导数： 1、 y = x (cos x + x ) 2 ； 2、 x x y + − = 1 1 ； 3、 y = (x − a)(x − b)(x − c)，(a,b,c 为常 数)；4、 x x y = x sin x + a e 3 ； 5、 y x x = 2 tan ；

四、以初速度，上抛的物体，其上升高度h与时间1的关系为h=-8,求（①)该物 体的上升速度：(2)该物体到达最高点的时刻。 五、证明双曲线xy=α2上任一点的切线与二坐标轴构成的三角形的面积等于常数

30 四、以初速度 0 v 上抛的物体，其上升高度 h 与时间 t 的关系为 2 0 2 1 h = v t − gt ，求（1）该物 体的上升速度；（2）该物体到达最高点的时刻。 五、证明双曲线 2 xy = a 上任一点的切线与二坐标轴构成的三角形的面积等于常数

练习三 一、是非判断题： 1、可导的偶函数的导数为奇函数。【】 2、可导的周期函数的导数仍为周期函数。【】 3、初等函数在其定义域内是可导的。 [1 4、若fxgx)可导，且fx)>gx),则f"d)>g'x.【】 二、填空题： 1、设fx)单调可导，(x)是fx)的反函数且f2)=4,f”2)=5,f"4)=6,则 p'4)= 2、已知r=8e=,则孟 3得)产x则 4、y=e应，则y0)= 。 三、求下列函数的导数： 1、y=2r+3e': 2、y=e5. 3、y=sn2(2x): 4、y=tanl-2:5、y=hl+Vx2+l:6、y=ecos2x: y=e-6+cm上少=n动+nf创.其种利可号

31 练习三 一、是非判断题： 1、 可导的偶函数的导数为奇函数。 [ ] 2、 可导的周期函数的导数仍为周期函数。 [ ] 3、 初等函数在其定义域内是可导的。 [ ] 4、 若 f (x), g(x) 可导，且 f (x)  g(x) ，则 f (x)  g (x)。 [ ] 二、填空题： 1、 设 f (x) 单调可导， (x) 是 f (x) 的反函数且 f (2) = 4, f (2) = 5, f (4) = 6 ，则 ( ) _  4 = 。 2、 已知 ( ) 2 f  x = g(x), h(x) = x ，则 _ f [h(x)] = dx d 。 3、 设 x x x f +  =      1 1 ， 则 ( ) _ f  x = 。 4、 x y e + = 1 1 ，则 ( ) _ y  0 = 。 5、 x x y arc − + = 1 1 cot ，则 _ y  = 。 三、求下列函数的导数： 1、 ( ) 4 2 3 x y = x + e ； 2、 2 2 x y e − = ； 3、 y sin (2x) 2 = ； 4、 y = tan(1− 2 x ) ； 5、 ln( 1) 2 y = x + x + ； 6、 y e x x cos 2 − = ； 7、 x y e x 1 arcsin sin = + ； 8、 y f ( x) f (x) 2 2 = sin + sin ，其中 f (x) 可导

四、设f-x)=xe,且f)可导，求f"x)。 五，设x>0时.可号福数阳满起/)+2日-求了)(>0

32 四、设 ( ) x f x xe − 1− = ，且 f (x) 可导，求 f (x)。 五、设 x  0 时，可导函数 f (x) 满足 ( ) x x f x f 1 3 2  =      + ，求 f (x) （ x  0 ）

练习四 一、选择题： 1、设函数f)存在二阶导数，y=f血x,则y= (a)Uhx+fx训()V)-f血x训： g)时-训：o动a明 2、设f(x)=(2x+10)°，则f(4)= (4)960:(B)-960:(C)-1920:(D1920. 3、设fx)在（仁o,+o)内为奇函数，且在(0，+o)内有f"(x)>0,f"(x)>0,则fx) 在（←o,0)内是 (4)f'(x)0: (C)f(x)>0,且f"(x)0,且"x)>0。 二、填空题： 1、y=102,则y回= 2、y=sm2x,则y回= 3、y=h+a)(a>0,则y1x=1= 4、若了存在，且y=)则= 三、求下列函数的n阶导数： 小m2J家-x中23y=x

33 练习四 一、选择题： 1、 设函数 f (x) 存在二阶导数， y = f (ln x) ，则 y  = _ 。 f ( x) f ( x) x A ln ln 1 ( ) 2  +  ； f ( x) f ( x) x B ln ln 1 ( ) 2  −  ； xf ( x) f ( x) x C ln ln 1 ( ) 2  −  ； xf ( x) f ( x) x D ln ln 1 ( ) 2  +  。 2、 设 ( ) ( ) 6 f x = 2x +10 ，则 f (− 4) = _ 。 (A) 960 ； (B) − 960 ； (C)−1920 ； (D)1920。 3、 设 f (x) 在 (− ,+) 内为奇函数，且在 (0,+) 内有 f (x)  0， f (x)  0 ，则 f (x) 在 (−,0) 内是 _ 。 (A) f (x)  0 ，且 f (x)  0 ； (B) f (x)  0 ，且 f (x)  0 ； (C) f (x)  0 ，且 f (x)  0 ； (D) f (x)  0 ，且 f (x)  0 。 二、填空题： 1、 x y = 10 ，则 ( ) _ = n y ； 2、 y = sin 2x ，则 ( ) _ = n y ； 3、 y = ln(1+ ax) (a  0) ，则 _ y  x = 1 = ； 4、若 f (x) 存在，且 ( ) 2 y = f x ，则 _ 2 2 = dx d y 。 三、求下列函数的 n 阶导数： 1、 y x 2 = sin ； 2、 3 2 1 2 − + = x x y ； 3、 y = x ln x

四、已知y=x2cos2x,求y 五、验证函数y=c,e“+c,e“(元，c,C,均为常数)满足方程：y”-y=0 六、设y=f(x)的一阶、二阶导数存在且为非零，其反函数为x=(),证明： p6)=- f"(x)

34 四、已知 y x cos2x 2 = ，求 (50) y . 五、验证函数 x x y c e c e  − = 1 + 2 1 2 (,c ,c 均为常数）满足方程： 0 2 y  −  y = . 六、设 y = f (x) 的一阶、二阶导数存在且为非零，其反函数为 x =(y) ，证明： ( ) ( )  ( ) 3 f x f x y    = −

练习五 一、填空题： 1设x2+y2-3ay=0,则少 dx 2设my=+,则会 头鱼线济：以>0在在（侣）装曲知线方程为 4质线二上对险于1-后处法线方程为 y=sin3t 二、求由下列方程确定的隐函数的导数： 小=e,求安 2、y=1+xe,求y"0)。 三、求下列参数方程确定的函数的导数： {”要. 2培

35 练习五 一、填空题： 1、 设 3 0 3 3 x + y − axy = ，则 _ = dx dy ； 2、 设 tan y = x + y ，则 _ = dx dy ； 3、 曲 线 ( 0) 3 2 3 2 3 2 x + y = a a  在 点         a a 4 2 , 4 2 处 的 切 线 方 程 为 _ ； 4、 曲线    = = y t x t 3 3 sin cos 上对应于 6  t = 处法线方程为 _ 。 二、求由下列方程确定的隐函数的导数： 1、 x y xy e + = ，求 dx dy ； 2、 y y =1+ xe ，求 y (0)。 三、求下列参数方程确定的函数的导数： 1、    = − = + y t t x t arctan ln( 1) 2 ，求 2 2 dx d y 。 2、    − + = = + + sin 1 0 3 2 3 2 e t y x t t t ，求 t=0 dx dy

四、用对数函数求导法求导 -回 2、y=(snx'. 五、设y=6)是由方程e0-e确定，间二骨可，且了1求空 六，作变量代换x=h1简化方程-少+ey=0 dx2 dx 七、注水入深8米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟4立方米，当水深5米时，其表面上 升的速率为多少

36 四、用对数函数求导法求导： 1、 ( ) 1 1 2 + − = x x x y ； 2、 ( ) x y = sin x 。 五、设 y = y(x) 是由方程 f ( y ) y xe = e 确定， f (u) 二阶可导，且 f (u) 1 ，求 2 2 dx d y 。 六、作变量代换 x = ln t 简化方程 0 2 2 2 − + e y = dx dy dx d y x 七、注水入深 8 米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟 4 立方米，当水深 5 米时，其表面上 升的速率为多少？