《高等数学》课程教学资源（章节练习）第一章练习题

第一章练习题 练习一 一、是非判断题 若/儿)=)=x则=g)· 2、若fx)=nx2,x>0,g(x)=2hx,则f(x)与gx)相同。【】 入商数国-古与8在0》内-个是有的，一个桃无输【】 4、y=0不是函数。[] 5、函数f(x)=1(1-)的定义域为x≠0的一切实数。[】 6、f(x)=x2(x>0)是偶函数。【] 7、函数，a是奇函数。【】 8、凡是分段表示的函数都不是初等函数。【】 9、函数f(x)=x3+1是单调函数，又是奇函数。[] 10、不单调的函数一定没有单值反函数。【】 二、填空题 1、若f(x)的定义域是[0,1]，则f(x2+1)的定义域是 2、函数y=f(x)与其反函数y=p(x)的图形关于 对称。 3、若f(x)是以2为周期的周期函数，且在闭区间[0,2]上f(x)=2x-x2,则在闭区间 [2,4上f(x)= 4、函数f(x)=√x(x-3)的定义域是 5若=则f 1+x 6、若f(x)= x,x<0 x+1,x≥0'则fx+)=

1 第一章 练习题 练习一 一、是非判断题 1、若 x x f x 2 ( ) = , g(x) = x ,则 f (x) = g(x) 。 [ ] 2、若 f (x) ln x , x 2 = ＞0， g(x) = 2ln x, 则 f (x) 与 g(x) 相同。 [ ] 3、函数 1 1 ( ) − = x f x 与 x g x 1 ( ) = 在（0，1）内一个是有界的，一个是无界的。[ ] 4、 y = 0 不是函数。 [ ] 5、函数 ) 1 ( ) 1/(1 x f x = − 的定义域为 x  0 的一切实数。[ ] 6、 2 f (x) = x (x ＞0 ) 是偶函数。 [ ] 7、函数 2 x x a − a − 是奇函数。 [ ] 8、凡是分段表示的函数都不是初等函数。 [ ] 9、函数 ( ) 1 3 f x = x + 是单调函数，又是奇函数。[ ] 10、不单调的函数一定没有单值反函数。 [ ] 二、填空题 1、若 f (x) 的定义域是 [0,1] ，则 ( 1) 2 f x + 的定义域是 。 2、函数 y = f (x) 与其反函数 y = (x) 的图形关于 对称。 3、若 f (x) 是以 2 为周期的周期函数，且在闭区间 [ 0,2 ]上 ( ) 2 , 2 f x = x − x 则在闭区间 [2，4]上 f (x) = 。 4、函数 f (x) = x(x − 3) 的定义域是 。 5、若 , 1 1 ( ) x x f x + − = 则 ) = 1 ( x f 。 6、若 f (x) =    +1, , x x 0 0   x x ， 则 f (x +1) =

7、函数fx)=ea是由 _复合而成。 8、设gp(x)=x2,wy(x)=2,则o[(x】=_ 一，[w(x】= 三、计算题 1、已知/p(x]=1+cosx.)=sn艺求f): 2eo-长5a-食树多/ugtrw-

2 7、函数 2 sin ( ) x f x = e 是由 复合而成。 8、设 ( ) , ( ) 2 , 2 x  x = x  x = 则 [(x)] = ，[ (x)] = 。 三、计算题 1、 已知 , 2 [ ( )] 1 cos , ( ) sin x f  x = + x  x = 求 f (x) 。 2、 已知    = 0, 1, f (x) 1, 1,   x x    − = 2, 2 , ( ) 2 x g x 1, 1,   x x 求 f [g(x)] 与 g[ f (x)]

4、求函数y=x+宁0<州≤)的反函数. 四、一球的半径为r,作外切于球的圆锥，试将其体积表示为高h的函数（注意写出定义域）

3 3、 设 ( 1), 1 ( )  − = x x x f x 求 ] ( ) 1 1 [ f x − f 。 4、 求函数 ) 1 ( 2 1 x y = x + (0  x 1) 的反函数。 四、一球的半径为 r，作外切于球的圆锥，试将其体积表示为高 h 的函数（注意写出定义域）

五、已知了)定义在(0，+切)上，但在(0，+四)上单调减少，求证对任意x>0, >0都有fx+x2)<fx)+fx)·

4 五、已知 f (x) 定义在 (0,+) 上， x f (x) 在 (0,+) 上单调减少，求证对任意 1 x ＞0 ， 2 x ＞0 都有 ( ) 1 2 f x + x ＜ ( ) ( ) 1 2 f x + f x

练习二 一、是非判断题 1、如果{a,)是单调数列，则数列有极限或者ma。=D。【】 2、若数列(a,)无极限，则它必无界。【1 3、若数列(a,b,)的极限存在，则数列(an)的极限必存在。【】 4、对于任给8>0，若数列(an)中至多有有限项不满足|a。-A|<6,则数列(an) 以A极限。【 1 5、在数列《an}中任意去掉或增加有限项，不影响{an)极限。【】 6、数列(an)收敛当且仅当数列(|anI)收敛。【】 二、填空题 1、m(n+1-m= 1 2m3= 一m2+少)- n 小 小典品 一 5、如果mx2n=a,mx21=a,则lmxn= 6、如果m(x。+y)=a,m(x。-y)=b,则mx。= 7、数列(x)有界的定义为_ 三、根据极限定义证明 1、m示=0

5 练习二 一、是非判断题 1、如果｛ n a ｝是单调数列，则数列有极限或者 =  → n n lim a 。[ ] 2、若数列｛ n a ｝无极限，则它必无界。 [ ] 3、若数列｛ n n a b ｝的极限存在，则数列｛ n a ｝的极限必存在。 [ ] 4、对于任给  ＞0 ，若数列｛ n a ｝中至多有有限项不满足︱ n a - A︱＜  ，则数列｛ n a ｝ 以 A 极限。[ ] 5、在数列｛ n a ｝中任意去掉或增加有限项，不影响｛ n a ｝极限。 [ ] 6、数列｛ n a ｝收敛当且仅当数列｛︱ n a ︱｝收敛。 [ ] 二、填空题 １、 + − = → lim ( n 1 n) n 。 2、 = → n n 3 1 lim ， = − + → ) ( 1) lim (2 n n n 。 3、 = → +1 sin lim 2 n n n n 。 4、 = + − − + → 2 2 1 2 3 2 1 lim n n n n n _， = + + → 1 100 1 lim 3 2 n n n _。 5、如果 lim , x2n a n = → lim , x2n 1 a n + = → 则 = → n n lim x 。 6、如果 lim (x y ) a, n n n + = → lim (x y ) b, n n n − = → 则 = → n n lim x 。 7、数列｛ n x ｝有界的定义为 _。 三、根据极限定义证明 １、 0 1 lim 2 = n→ n

21 3、-m 四、证明 1、若mx。=0,数列(y)有界，则mxya=0。 2、若mxn=a,a>0，则存在正整数N,当n>N时，xn>0。 3、若(x,)是非负数列，mxn=a,则a≥0。 6

6 ２、 1 1 lim 2 = + → n n n ３、 4 sin 1 lim n n→ n 四、证明 １、若 lim = 0 → n n x ，数列｛ n y ｝有界，则 lim = 0 → n n n x y 。 ２、若 xn a a n lim = , → ＞0 ，则存在正整数 N ,当 n  N 时， n x ＞0。 ３、若｛ n x ｝是非负数列， lim x a, n n = → 则 a ≥0

练习三 一、是非判断题 1、在某过程中，若f(x)有极限，g(x)无极限，则fx)+g(x)无极限。[】 2、在某过程中，若fx),g(x)均无极限，则fx)+gx)无极限。【】 3、在某过程中，若fx)有极限，g(x)无极限，则f(x)g(x)无极限。【】 4、在某过程中，若f(x),g(x)均无极限，则f(x)g(x)必无极限。【】 5、如果fx6)=f(x0),但f)不存在，则mf不存在。【】 6、如果fx)与fx)都存在，则mf)必存在。【】 7、如果mf(x)=A,则mfn)=A。【】 8、如果mfm=A,则mf)=A。【】 9、如果f(x)>0,且mfx)=A,那么A≥0。【] 10、如果mfx)=A,X>0且x>X时fx)≥0，那么A≥0。【] 二、填空愿 、f=荷，则0)月 f0)=」 2、如果fx)=[x],那么f0*)= 一f0)= -盆相or一- x≤0， 当b= 时，mf(x)=1。 活24，= 5、根据极限的定义证明m(3x-)=8,对任给 一，取6=则 当时，有1(3x-)-81<6,·m(3x-)=8

7 练习三 一、是非判断题 １、在某过程中，若 f (x) 有极限， g(x) 无极限，则 f (x) + g(x) 无极限。[ ] ２、在某过程中，若 f (x) , g(x) 均无极限，则 f (x) + g(x) 无极限。 [ ] ３、在某过程中，若 f (x) 有极限, g(x) 无极限，则 f (x) g(x) 无极限。 [ ] ４、在某过程中，若 f (x) , g(x) 均无极限，则 f (x) g(x) 必无极限。[ ] ５、如果 ( ) ( ) 0 0 + − f x = f x ,但 ( ) 0 f x 不存在，则 lim ( ) 0 f x x→x 不存在。 [ ] ６、如果 ( ) 0 + f x 与 ( ) 0 − f x 都存在，则 lim ( ) 0 f x x→x 必存在。 [ ] ７、如果 f x A x = →+ lim ( ) ，则 f n A n = → lim ( ) 。 [ ] ８、如果 f n A n = → lim ( ) ，则 f x A x = →+ lim ( ) 。 [ ] ９、如果 f (x) ＞0，且 lim ( ) , 0 f x A x x = → 那么 A ≥0。 [ ] 10、如果 f x A x = →+ lim ( ) ， X  0 且 x ＞ X 时 f (x) ≥0，那么 A ≥0。 [ ] 二、填空题 1、 x x f (x) = ，则 (0 ) + f = ， = − f (0 ) 。 2、如果 f (x) = [x] ，那么 (0 ) + f = ， = − f (0 ) 。 3、设    + = , , ( ) ax b e f x x 0, 0,   x x ，则 (0 ) + f = ， = − f (0 ) _， 当 b = 时， lim ( ) 1 0 = → f x x 。 4、若 4 3 2 lim 2 3 = − − + → x x x k x ，则 k = ． 5、根据极限的定义证明 lim (3 1) 8 3 − = → x x ，对任给 ，取  = 则 当 时，有︱ (3x −1) − 8 ︱＜  , ∴ lim (3 1) 8 3 − = → x x

三、根据函数极限的定义证明 1、(2x+)=5 2典特 a典=4 0 四、计算 1、若阳-5，求ah的 五、如果f(x)在x,的某邻域内有界，mg(x)=0,根据极限定义证明m[f(x)g(x刃=0

8 三、根据函数极限的定义证明 1、 lim (2 1) 5 2 + = → x x 2、 4 3 3 2 1 lim 1 = + + → x x x 3、 4 4 4 lim 2 2 = → x − x x 4、 0 cos lim = →+ x x x 四、计算 １、 若 5 1 lim 2 1 = − + + → x x ax b x ，求 a,b 的值。 ２、 若 ) 0 1 1 lim ( 2 − − = + + → ax b x x x ，求 a,b 的值。 五、如果 f (x) 在 0 x 的某邻域内有界， lim ( ) 0 0 = → g x x x ，根据极限定义证明 lim [ ( ) ( )] 0. 0 = → f x g x x x

练习四 一、是非判断题 1、变量在变化过程中，其绝对值越变越小，也不一定是无穷小。【 2、变量在变化过程中，会变得比任何数都要小，则它是无穷小。【 1 3、很小很小的数是无穷小。【】 4、零是无穷小。「 1 5、无穷小是一个函数。[】 众在某变他过程中，若四是无方大，则石是无方小【】 不如果)是无方小，则网是无穷大.【】 1 8、两个无穷小的商是无穷小。【】 9、xsmL在x→0时是无穷小。[】 10、f)=是无穷大.【1 二、填空题 1 1设y=x中，当x→一时，y是无穷小量，当x→—时，y是无穷大量。 2、设y=anx,当x→_时，y是无穷小量，当x→时，y是无穷大量。 3、设a(x)是无穷小量，E(x)是有界变量，则a(x)E(x)为_ 4、如果mfx)=0且 一那么即0 5、如果mfx)=0,则fx)在x→x时，极限属于 一。（存在，不存在） 6、两个同号的无穷大之和是 7、m)=A当且仅当x→，时1fx)-A1是 8、如果+是无穷大，则x x+1 三、根据定义证明 小当4时为无方 2、3-l当x→0时为无穷大

9 练习四 一、是非判断题 1、变量在变化过程中，其绝对值越变越小，也不一定是无穷小。[ ] 2、变量在变化过程中，会变得比任何数都要小，则它是无穷小。[ ] 3、很小很小的数是无穷小。 [ ] 4、零是无穷小。[ ] 5、无穷小是一个函数。 [ ] 6、在某变化过程中，若 f (x) 是无穷大，则 ( ) 1 f x 是无穷小。[ ] 7、如果 f (x) 是无穷小，则 ( ) 1 f x 是无穷大。[ ] 8、两个无穷小的商是无穷小。[ ] 9、 x x 1 sin 在 x →0 时是无穷小。[ ] 10、 x f x 1 ( ) = 是无穷大。[ ] 二、填空题 1、设 1 1 + = x y ，当 x → 时， y 是无穷小量，当 x → 时， y 是无穷大量。 2、设 y = tan x ，当 x → 时， y 是无穷小量，当 x → 时， y 是无穷大量。 3、设 a(x) 是无穷小量， E(x) 是有界变量，则 a(x)E(x) 为 。 4、如果 lim ( ) 0 0 = → f x x x 且 ，那么 =  → ( ) 1 lim x x f x 。 5、如果 =  → lim ( ) 0 f x x x ，则 f (x) 在 0 x → x 时，极限属于 。（存在，不存在） 6、两个同号的无穷大之和是 。 7、 lim ( ) , 0 f x A x x = → 当且仅当 0 x → x 时︱ f (x) − A ︱是 。 8、如果 1 1 2 + + x x 是无穷大，则 x → 。 三、根据定义证明 1、 1 4 + − x x 当 x →4 时为无穷小。 2、 x 3x −1 当 x →0 时为无穷大

四、证明 1、函数y=xsnx在(0，十∞)内无界，但当x→+0时，函数不是无穷大. (提示：x,=2n元+子无，=2nπ来说明 2、函数y=c0s在0，D上无界，但当x→0时，函数不是无穷大

10 四、证明 1、函数 y = x sin x 在（0，＋∞）内无界，但当 x → + 时，函数不是无穷大。 (提示：   xn n , xn 2n 2 = 2 + = 来说明) 2、函数 x x y 1 cos 1 = 在(0，1)上无界，但当 → + x 0 时，函数不是无穷大