《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学5.4 反常积分

第四节 第五章 反常积分 积分限有限 常义积分 被积函数有界 推广 反常积分（广义积分） 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、无界函数的反常积分 第四节 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分) 反常积分 第五章

无穷限的反常积分 引例曲线y=专 和直线x=1及x轴所围成的开口曲 边梯形的面积可记作 +oo dx 4=) 其含义可理解为 4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 2 1 x y = A 1 可记作  + = 1 2 d x x A 其含义可理解为  →+ = b b x x A 1 2 d lim b b b x 1 1 lim       = − →+       = − b→+ b 1 lim 1 =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1.设f(x)∈C[a,+o),取b>a,若 dx 存在，则称此极限为fx)的无穷限反常积分，记作 ()d=limd 这时称反常积分∫f(x)dr收敛，如果上述极限不存在， 就称反常积分∫f(x)d发散 类似地，若f(x)∈C(-o,b],则定义 d=im心wd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义1. 设 f (x)C[a, + ), 取b  a, 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f (x)C(−, b], 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若f(x)∈C(-o,+o),则定义 d)d)dx (c为任意取定的常数) 只要有一个极限不存在，就称f(x)dx发散 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 说明：上述定义中若出现∞一∞，并非不定型， 它表明该反常积分发散， HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

若 f (x)C(−, + ), 则定义 f x x c a a lim ( )d  →− f x x b b c lim ( )d  →+ + ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 说明: 上述定义中若出现  −  , 并非不定型 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散

若F(x)是f(x)的原函数，引入记号 F(+)=lim F(x);F(-o)=lim F(x) x→+00 X→-00 则有类似牛-莱公式的计算表达式 F)-F(a) =FF-F-) 广ad=FeE-Fo）-Fa HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

引入记号 F( ) lim F(x) ; x→+ + = F( ) lim F(x) x→− − = 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( )d  + = F(x) = F(+) − F(a) f x x b ( )d − = F(x) = F(b) − F(−) f (x)dx  + − = F(x) = F(+) − F(−) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

计反常买分，中 解： 思考： 0对 分桥」-n0+) 原积分发散！ 注意：对反常积分，只有在收敛的条件下才能使用 偶倍奇零”的性质否则会出现错误 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 计算反常积分 解: + − = [arctan x] ) 2 (  − − 2  = = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o x y 2 1 1 x y + = 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误

例2.计算反常积盼01e'd1(p>0) 解： -Pt 十0 HIGH EDUCATION PRESS e0C①8 机动目录上页下页返回结束

例2. 计算反常积分 解: pt e p t − 原式 = −  + − + 0 d 1 e t p pt pt e p − = − 2 1 2 1 p = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证阴第关p粉 当p>1时收敛；ps1 时发散 证：当p=1时有 -nlew 当p≠1时有 +0 p>1 1-p 因此，当p>1时，反常积分收敛，其值为 p-1 当p≤1时，反常积分发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有   + = a ln x = + − +    −  = a p p x 1 1 当 p ≠ 1 时有 p 1 , p 1 1 1 − − p a p 当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 . +  , 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 ; 1 1 − − p a p 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、无界函数的反常积分 引例：曲线 y=上与x轴y轴和直线x=1所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为 4m-g2 08 1im2(1-/8)=2 8-→0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、无界函数的反常积分 引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为 +  → = 1 0 d lim   x x A   1 lim 2 0 x → + = lim 2(1 ) 0   = − → + = 2 x y 1 = 0 A x y  机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义2.设f(x)∈C(a,b],而在点a的右邻域内无界， 取8>0，若极限1im了()d存在，则称此极限为函 数f(x)在[a,b]上的反常积分，记作 Gdx=limar s->0+Ja+8 这时称反常积分∫心f(w)dx收敛，如果上述极限不存在， 就称反常积分f(x)dx发散。 类似地，若f(x)∈C[a,b),而在b的左邻域内无界， 则定义 rwdr=1m店fd HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义2. 设 f (x)C(a, b], 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f (x)C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函