《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节 第三章 蓝数的单调性与 曲我的凹马性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 HIGH EDUCATION PRESS 00C08 机动目录上页下页返回结束

第四节 一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章

一、 函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导 (1)若在(a,b)内f'(x)≥0且等号仅在有限个点成立 则f(x在[a,b]内单调递增 (2)若在(@，b)内.f'(x)≤0且等号仅在有限个点成立 则f(x在[a,b]内单调递减 证： 由拉格朗日中值定理 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、 函数单调性的判定法 (1)若 定理 1. 设函数 则 在 内单调递增 证: 由拉格朗日中值定理 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 连续， 可导, 在 内 且等号仅在有限个点成立, (2)若 则 在 内单调递减 在 内 且等号仅在有限个点成立

说明： 1)如果函数在某驻点两边导数同号 则不改变函数的单调性 例如，y=x3,x∈(-0，+0) y'=3x2 y1x-0=0 2)单调区间的分界点除驻点外也可是导数不存在的点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: 1) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2）单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点

例3讨论函数 f()= 的单调性 解： f"(x33 (x≠0) y↑y=x 当 x=0时导数不存在 当x>0f'(x)>0 0 ∴.f(x)在[0，+o)上单调增 当x<0f'(x)<0 .f(x)在(（-o,0]上单调减 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3.讨论函数 的单调性. 解: 3 2 ( ) ( 0) 3 f x x x  =  当 时导数不存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 f x ( ) 0  在 上单调增 当 f x ( ) 0  在 上单调减 y o x 3 2 y = x

例4.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解：f'(x)=6x2-18x+12=6(x-10(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 (-0,1)1(1,2)2 (2,+0) f'(x) 0 f(x) 2 故1的单调赠区间方.：2，+入 f(x)的单调减区间为1,2] 12 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f  x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 ( ,1], − [2, ); +  的单调减区间为 [1, 2]. 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5.证明：当x>1时2>3- 证：令=-6克/六中6- f(x) 在1，+∞)上连续，在(1，+∞)上，(x)>0 所以在[L,+∞)上f(x)! 单调增 从而当x>1时f(x)>f) 而f0)=0 所以f(x)>fI)=0 即2-3->0， 亦即 2F>3-(x>1) 初等方法 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例5. 证明：当 证: 令 1 f x x ( ) 2 (3 ) , x = − − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 f x x ( ) 2 (3 ) , x = − − 2 2 1 1 1 f x x x ( ) = ( 1), x x x  = − − f x( ) 在 [1, ) + 上连续, 在 (1, ) + 上, f x ( ) 0  所以在 [1, ) + 上 f x ( ) 单调增 从而当 x 1 时 f x f ( ) (1)  而 f (1) 0 = 所以 f x f ( ) (1) 0  = 即 1 2 (3 ) 0 , x x − −  亦即 1 2 3 ( 1) x x x  −  初等方法

二、曲线的凹凸与拐点 定义.设函数f(x)在区间I上连续，Vx1,x2∈I, (1) 若恒有f())+/)，则称)的 2 图形是凸的 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 二、曲线的凹凸与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2.（凹凸判定法）设函数f(x)在区间1上有二阶导数 (1)在1内∫"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的，t (2)在1内f"(x)<0,则f(x)在1内图形是凸的.△ 证：Vx1,x2∈I,利用一阶泰勒公式可得 f)=fě/3 X+X2 f"(5L 2 21 f3)=f+f X1十X f"2以X2 X1+X2 21 两式相加 f(x)+fx2)=2f)+(色，)2[f”(51)+f52】 当)0时L2/2) 说明(1)成立 2)1 证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f 2 1 2 x + x 2! ( ) 1 f  + 2 1 (x − ) 2 1 2 x + x ( ) ( ) 2 f x = f 2 1 2 x + x + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) x2 − 2 1 2 x + x 2! ( )  2 f  + 2 2 (x − ) 2 1 2 x + x 两式相加 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f 2 1 2 x + x 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1  2 f  + f  当f (x)  0时, ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x  + 2 1 2 x + x 说明 (1) 成立;  (2) + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) 1 x 2 1 2 x + x  机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕

例9.求曲线y=3x4-4x3+1的凹凸区间及拐点 解：1)求y” y=12x3-12x2,y”=36x2 2)求拐点可疑点坐标 令y”=0得1=0，x2=名，对加 3)列表判别 -00,0 (,+∞) 0 1 凹 27 凹 故该曲线在(-∞，0)及（径，+∞）内是凹的，在(0，)内 是凸的，点(0,1)及()均为拐点 学HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

36 ( ) 3 2 = x x − 例9. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 y  12 12 , 3 2 y  = x − x 2) 求拐点可疑点坐标 令 y  = 0 得 0 , , 3 2 x1 = x2 = 对应 3) 列表判别 27 11 1 2 y =1, y = (−,0) (0, ) 3 2 ( , ) 3 2 +  y  x y 0 3 2 + 0 0 1 27 11 − + 故该曲线在 (−,0) ( , ) 3 及 2 +  内是凹的, 是凸的 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 27 11 3 2 均为拐点. 2 3 在(0, )内 凹 凸 凹 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 (0,1) ( , ) 27 11 3 2

例10.判断曲线=x4是否有拐点 解：y=4x3,y”=12x2 当x≠0时，y”>0;x=0时，y”"=0 故曲线y=x4在(-0，+o)上无拐点 说明： 1)若在某点二阶导数为0，在其两侧二阶导数不变号 则曲线的凹凸性不变 2)根据拐点的定义及上述定理，可得拐点的判别法如下： 若曲线y=f(x)在点xo连续，∫”(xo)=0或不存在 但f"(x)在x两侧异号，则点(xo,f(x)是曲线 y=f(x)的一个拐点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例10. 判断曲线 是否有拐点. 解: 4 , 3 y  = x 故曲线 在 上无拐点. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f (x) 在 两侧异号, 0 x 则点 ( , ( )) 0 0 x f x 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束