《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数、极限与连续 第二节 数列极限的定义与计算

第二节 第一章 款列戴限的突义写汁第 一、数列极限的定义 二、数列极限的计算 HIGH EDUCATION PRESS D 自录 返回 结

第一章 一、数列极限的定义 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列极限的定义与计算 二、数列极限的计算

一、数列极限的定义 v引例 如何用渐近的方法求圆的面积S? 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S A表示圆内接正6边形面积， A,表示圆内接正12边形面积 A3表示圆内接正24边形面积， 00口000， An表示圆内接正6口2n-1边形面积 A3 显然n越大，An越接近于S. 因此，需要考虑当n口口时，An的变化趋势 HIGH EDUCATION PRESS

一、数列极限的定义 v引例 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. A213 A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积, An表示圆内接正6￾ 2 n-1边形面积, ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ , ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ ￾ . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n￾￾ 时, An的变化趋势.￾￾￾￾

V数列 如果按照某一法则，对每一口N口，对应着一个确定 的实数x,则得到一个序列 x1,x2x3,0口☐，xn,0口口， 这一序列叫做数列，记为{xn},其中第n项xn叫做数列的 一般项 数列举例： 2,4,8,☐日0,2m,▣日▣； 1,-1,1,▣▣▣，(1)+1，▣▣▣ HIGH EDUCATION PRESS

v数列 如果按照某一法则, 对每一n￾ N￾ , 对应着一个确定 的实数xn , 则得到一个序列 x1 , x2 , x3 , ￾ ￾ ￾ , xn , ￾ ￾ ￾ , 这一序列叫做数列, 记为{xn }, 其中第n项xn叫做数列的 一般项. 数列举例: 2, 4, 8, ￾ ￾ ￾ , 2n , ￾ ￾ ￾ ; 1, -1, 1, ￾ ￾ ￾ , (-1)n+1 , ￾ ￾ ￾

V数列 如果按照某一法则，对每一n加N口，对应着一个确定 的实数x,则得到一个序列 x1x2,x3,0口☐，xn,0·口 这一序列叫做数列，记为{xn},其中第n项x叫做数列的 一般项 数列的几何意义 数列{x}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数 轴上的点x1,x2,x3,口口口，xn,口口·. HIGH EDUCATION PRESS

x1 x5 x4 x3 x xn 2 数列{xn }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数 轴上的点x1 , x2 , x3 , ￾ ￾ ￾ , xn , ￾ ￾ ￾ . •数列的几何意义 v数列 如果按照某一法则, 对每一n￾ N￾ , 对应着一个确定 的实数xn , 则得到一个序列 x1 , x2 , x3 , ￾ ￾ ￾ , xn , ￾ ￾ ￾ , 这一序列叫做数列, 记为{xn }, 其中第n项xn叫做数列的 一般项

V数列 如果按照某一法则，对每一口N口，对应着一个确定 的实数x,则得到一个序列 x1,x2x3,0口☐，xn,口·□ 这一序列叫做数列，记为{xn},其中第n项xn叫做数列的 一般项 •数列与函数关系 数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数： xm=f(n),n☐N. HIGH EDUCATION PRESS

数列{xn }可以看作自变量为正整数n的函数: xn =￾f (n) , n￾ N￾ . •数列与函数关系 v数列 如果按照某一法则, 对每一n￾ N￾ , 对应着一个确定 的实数xn , 则得到一个序列 x1 , x2 , x3 , ￾ ￾ ￾ , xn , ￾ ￾ ￾ , 这一序列叫做数列, 记为{xn }, 其中第n项xn叫做数列的 一般项

V数列极限的通俗定义 当无限增大时，如果数列{x,}的一般项xn无限接近 于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限，或称数列{x,}收 敛于a,记为 limn=a· n®￥ HIGH EDUCATION PRESS

当n无限增大时, 如果数列{xn }的一般项xn无限接近 于常数a, 则常数a称为数列{xn }的极限, 或称数列{xn }收 敛于a, 记为 v数列极限的通俗定义

例如，123 n 234n+1 n+®10m￥) 收 敛 lim1=0, n®￥2n 2,4,8,L,2”, xn=2”®￥(n®￥) 1,-1,1,L,(1)1,L 发 散 趋势不定 HIGH EDUCATION PRESS 卡下页 返回 结球

例如, 趋势不定 收 敛 发 散 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当n无限增大时，如果数列{x,}的一般项xn无限接近 于常数a,则数列{xn}收敛a •分析 当n无限增大时，xn无限接近于a, 当n无限增大时，xna无限接近于0. 口 当n无限增大时，xa可以任意小，要多小就能有多小， ▣ 当n增大到一定程度以后，xm-d能小于事先给定的任意 小的正数. 因此，如果n增大到一定程度以后，x,ad能小于 事先给定的任意小的正数，则当n无限增大时，xn无限接 近于常数a. HIGH EDUCATION PRESS

当n无限增大时, xn无限接近于a . ￾ 当n无限增大时, |xn -a|无限接近于0 . ￾ 当n无限增大时, |xn -a|可以任意小, 要多小就能有多小. ￾ 当n增大到一定程度以后, |xn -a|能小于事先给定的任意 小的正数. •分析 因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn -a|能小于 事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接 近于常数a. 当n无限增大时, 如果数列{xn }的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn }收敛a

V数列极限的精确定义 设{x}为一数列口如果存在常数对于任意给定的 正数七总存在正整数 使得当>N时☐不等式 N▣ lxn口aKe 都成立则称常数a是数列{n的极限口或者称数列{x, 收敛于a口记为 limx=a或x,®a(n®￥). n®￥ 如果不存在这样的常数a口就说数列{x}没有极限 或说数列{x,}是发散的，习惯上也说limx,不存在。 •极限定义的简记形式 limx,=a 口回口回0，回正整数N,当n口N时口有x n®￥ HIGH EDUCATION PRESS

v数列极限的精确定义 |xn ￾ a |N 时￾不等式 都成立￾则称常数a是数列{xn }的极限￾或者称数列{xn } 收敛于a￾ 记为

lim x,=a U n®￥ "e>0,$正整数N,当n>N时，总(xn-aN) 即xniU(a,e) a-e xwu a xn+2 ate (n>W) HIGH EDUCATION PRESS 目录

当 n > N 时, 总有 几何解释 : 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束