《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 傅里叶变换 7.1 傅里叶变换

第八章傅里叶变换 一、傅里叶变换的概念 二、单位脉冲函数 三、傅里叶变换的性质 四、傅里叶变换的应用

一、傅里叶变换的概念 二、单位脉冲函数 三、傅里叶变换的性质 四、傅里叶变换的应用 第八章傅里叶变换

一、 何为积分变换？ 所谓积分变换，实际上就是通过积分运算把一个函 数变成另一个函数的变换，这类积分一般要含有参 变量，具体形式可写为 ∫k(K,xf(e)tx=F(x) 二、积分变换的产生 数学中，经常利用某种运算把复杂问题变为比较简 单的问题，求解后再求其逆运算就得到原问题的解

一、何为积分变换？ 变量 具体形式可写为 数变成另一个函数的变换 这类积分一般要含有参 所谓积分变换 实际上就是通过积分运算把一个函 , , , k(x, )f ( )d F(x) b a =     二、积分变换的产生 , . , 单的问题 求解后再求其逆运算就得到原问题的解 数学中 经常利用某种运算把复杂问题变为比较简

初等数学中，曾经利用对数，将数的积商运算化为简单 的和差运算，高等数学中代数变换，解析几何中的的坐 标变换，其解决问题的思路都属于这种情况基于这种 思想便产生了积分变换 其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具，能实现卷积和普通乘 积之间的相互转化 工程上：是频谱分析，信号分析线性系统分析的重要 工具

. , . , , , , 思想便产生了积分变换 标变换 其解决问题的思路都属于这种情况基于这种 的和差运算 高等数学中代数变换 解析几何中的的坐 初等数学中曾经利用对数 将数的积商运算化为简单 其主要体现在: . : , 积之间的相互转化 数学上 求解方程的重要工具 能实现卷积和普通乘 . : , 工具 工程上 是频谱分析 信号分析线性系统分析的重要

第一节傅里叶变换的概念 一、傅里叶级数的理论 1定理81设断，0)是以7为周期的实值函数，且-22 L足欢优条件0陶上满足 (①)连续或只有有限个第一类间断点， (2)只有有限个极值点 则在f(t)的连续点处有 f()(acosmt+bsin ma!) 2 n=]

( cos sin ) 2 ( ) 0 0 1 0 a nw t b nw t a f t n n T = + n + + = 第一节傅里叶变换的概念 一、傅里叶级数的理论 上满足狄氏条件 即 在 上满足 定理 设 是以 为周期的实值函数 且在 ] 2 , 2 , ( ) [ ] 2 , 2 1. 8.1 ( ) , [ T T f t T T f t T T T − − (1)连续或只有有限个第一类间断点; (2)只有有限个极值点. 则在f T (t)的连续点处有

其中w=4,子膜0m成n=a2, ()sinm/.n-1.2. 并且在间断点t处，上式左端为 U,化+0+元，-0 由于上式中正弦函数和余弦函数可统一由指数 函数表示出来，因此可有比较简洁的形式：

 ( 0) ( 0) 2 1 f T t 0 + + f T t 0 − 并且在间断点t 0 处,上式左端为( )cos , 0,1,2, 2 , 2 0 2 2 0 = = = − f t nw tdt n T a T w T n T T  其中 ( )sin , 1,2, 2 0 2 2 = = − f t nw tdt n T b T n T T 函数表示出来,因此可有比较简洁的形式. 由于上式中正弦函数和余弦函数可统一由指数

由欧拉公式可得到 ,(em-em)。 代入上式得到 .Cn 令C2 ,C-n 2 2 (d)=∑cnem n=-o∞

2 , 2 , 2 0 0 n n n n n n a j b c a j b c a c + = − 令 = = − jnw t n T n f t c e 0 ( )  + =− = 由欧拉公式可得到 ( ), 2 1 ( ),sin 2 1 cos 0 0 0 0 0 0 jnw t jnw t jnw t jnw t e e j nw t e e nw t − − = + = − ) 2 2 ( 2 ( ) 0 0 1 0 n n jnw t n n n jnw t T e a j b e a a j b f t − + = + + − = + 代入上式得到

其中c.=珍femv业n=0l2 二、傅里叶积分公式 1.对于非周期函数f(t),可看成周期函数f(t)当T> +∞时转化来的，由上述公式可得 f(t)=lim fr(t) -▣2说r 将间隔，记为△w,节点m,记为wn,并由T=2严-2见 Wo △w

f t e dt T c jnw t T n T T 2 0 2 ( ) 1 − − 其中 = n = 0,1,2,  二、傅里叶积分公式 时转化来的由上述公式可得 对于非周期函数 可看成周期函数 当 , 1. ( ), ( ) +  f t f T t T → f (t) lim f (t) T T→+ = jnw jnw t T T T n T f e d e T 0 0 ( ) ] 1 lim [ 2 2   −  − + =− →+   = w w w w nw wn T   = = 2 2 , , 0 将间隔 0 记为 节点 0 记为 并由

f(t)= 1】 之攻f,(e)omdreAw 2元△w→0 1M 上述和式极限按积分的定义，在一定条件下，上式可 写成 0=2nJ0/eemuzkm 定理8.2f(t)在(-0，+o)上的任一有限区间满足狄氏条 件，且在(-0，+∞)上绝对可积，则下式成立 ((edrledw

  + − + − − f t = f e d e dw j w jwt [ ( ) ] 2 1 ( )     写成 上述和式极限按积分的定义,在一定条件下,上式可 f t f e d e w n w j w t w j w T w =  n n   + =−   − −  → lim [ ( ) ] 2 1 ( ) 0       件 且在 上绝对可积 则下式成立 定理 在 上的任一有限区间满足狄氏条 , ( , ) , 8.2 ( ) ( , ) − + f t − +   + − + − − f t = f e d e dw j w jwt [ ( ) ] 2 1 ( )    

在f(t)的间断点t处，上式的右端为 ++ 上述公式称为傅里叶积分公式简称傅氏积分 2.傅里叶变换 F(w)=(t)e-m"di 傅里叶变换 F()ed ，傅里叶逆变换

 ( 0) ( 0) 2 1 f t + + f t − 在f (t)的间断点t处,上式的右端为 上述公式称为傅里叶积分公式,简称傅氏积分. 2.傅里叶变换F w f t e dt jwt  + − − ( ) = ( ) 傅里叶变换  + − f t = F w e dw jwt ( ) 2 1 ( )  傅里叶逆变换

说明： ()上述两式中反常积分都是柯西意义下的主值 (2)在傅里叶变换中F(w)称为f(t)的像函数，f(t)称为 F(w)的像原函数. (3)傅氏变换有明确的物理含义 (4)F(w)为f(t)中各频率分量的分布密度，称F(w)为 频谱密度函数.F(w)为振幅谱，argF(w)为相位谱

说明: (1)上述两式中反常积分都是柯西意义下的主值. ( ) , (2) ( ) ( ) , ( ) 的像原函数 在傅里叶变换中 称为 的像函数 称为 F w F w f t f t (3)傅氏变换有明确的物理含义. . ( ) arg ( ) . (4) ( ) ( ) , ( ) 频谱密度函数 为振幅谱， 为相位谱 为 中各频率分量的分布密度 称 为 F w F w F w f t F w