《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵与向量 2-3 向量组的线性关系

§2.3向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标

§2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标

一、线性组合 在向量线性运算的基础上，讨论向量之间的关系 1.定义2.3.1对于向量41，必2，am和a,若存在m 个数1,2，.，1m,使得： a&=21a1+22+.+九mCm 则称a是4，c2,am的线性组合，1,2，.，m称 为组合系数。 或者称向量a可由向量组c41,2,&m线性表示 说明：(1)零向量是任何一组向量组的线性组合

一、线性组合 在向量线性运算的基础上,讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1 对于向量1 ,2 ,., m和，若存在m 个数1 ,2 ,. ,m ，使得：  = 11 + 22 + .+ mm 则称是1 ,2 ,.,m的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称 为组合系数。 说明：(1)零向量是任何一组向量组的线性组合 . 或者称向量可由向量组1 ,2 ,.,m 线性表示

例1设n维向量 61=(1,0,.,0) 62=(0,1.,0) 6n=(0,0,.,1) a=(41,42,.,4n)是任意一个n维向量，由于 0=(a1,a2,.,an）=a181+a22+a363+.+anEn 通常称E1,62,En为n维单位坐标向量组. (2)任一n维向量a可由维单位坐标向量组6,62，.，6m 线性表示出来

1 2 1 2 1 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) n n n a a a n     =  =  =  =  例 设 维向量 是任意一个 维向量，由于 通常称 1 2 , , , n     为n维单位坐标向量组. . (2) , , , 1 2 线性表示出来 任一n维向量 可由维单位坐标向量组 n      n n n  = a a  a = a  + a  + a  ++ a  1 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , )

0a1+.+1c+.+0am=a1≤i≤m (3)向量组中任一向量&，可由向量组☑，42，.，m线性 表示出来 (4)线性表示（线性组合）具有传递性。 对于一般的向量与向量组，我们可做如下转化。 2.向量a能否由向量组，.，xm线性表出可转化为 线性方程组有没有解的问题

0 +1 0     1 i i + ++ = m 1 i m . (3) , , , i 1 2 表示出来 向量组中任一向量 可由向量组    m 线性 对于一般的向量与向量组，我们可做如下转化。 . 2. , , 1 线性方程组有没有解的问题 向量能否由向量组   m 线性表出可转化为 (4)线性表示(线性组合)具有传递性

X1a1+X202+.+Xm0m=a 42j 4,9 j=1,2,n 21 22 42m b2 X1 +X2 +.十m nm ba) 「b a4111+a12X2+.+amXm=b1 B2 ay+dxx:++amXa=b（ Q= anx+anx2+.+armxm=b

(*) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1        + + + = + + + = + + + = n n n m m n m m m m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     x x x 1 1 2 2     + ++ = m m 1 2 1, 2, , j j j mj a a j n a        = =         1 2 n b b b        =        11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 m m m n n nm n a a a b a a a b x x x a a a b                         + ++ =                        

(①)a可由向量组，a,.,线性表示一线性方程组(*) 有解 (2)a不能由向量4，a2.,线性表示台线性方程组(*) 无解 3.一般地，与%，42，.，xm的关系为下列三种情况之一 (I)可由x,.,n线性表示，且表示法唯一。 (2)a可由og,.,am线性表示，但表示法不唯一。 (3)Q不能由4，.，n线性表示

(3)不能由1 ， , m 线性表示。 (2)可由1 ， , m 线性表示，但表示法不唯一。 (1)可由1 ， , m 线性表示，且表示法唯一。 3.一般地,与1 ,2 ,  , m 的关系为下列三种情况之一 . (1) , (*) 1 2 有解 可由向量组  n 线性表示  线性方程组 . (2) , (*) 1 2 无解 不能由向量   n 线性表示  线性方程组

例题2判断向量a=(0,4,2)是否是向量组a1=(1,2,3), Q2=(2,3,1),3=(3,1,2)的线性组合？ 解：先假定七1C1+x202+x3C3=a 即 1 2+x3+x, 3 因此 X1+2x2+3x3=0, 2X1+3x2+x3=4, 3x1+x2+2x3=2

1 2 3 1 2 3 0 2 3 1 = 4 3 1 2 2 x x x                 + +                         因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2. x x x x x x x x x  + + =   + + =  + + =  解：先假定 x x x 1 1 2 2 3 3     + + = 即 (2,3,1), (3,1,2) ? 2 (0,4,2) (1,2,3), 2 3 1 的线性组合 例题 判断向量 是否是向量组 = = = =    

由于该线性方程组的系数行列式 123 231: =-18≠0， 312 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 火1=1，x2=1,X3=-1 于是a可表示为Q=01+02一03

由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2 = −  由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3 x x x = = = − 1, 1, 1 于是可表示为     = + − 1 2 3

二、线性相关和线性无关 1.定义2.3.2 设n维向量组%，2，am,如果存 在不全为0的m个数k1,k2,.,km,使得 k1a1+k202+.+km0am=0 则称向量组a4,2,am线性相关，否则称它们线性 无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论：

1.定义2.3.2 设n维向量组1 , 2 ,., m ，如果存 在不全为0 的m 个数k1，k2，. ，km，使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们线性 无关. 二、线性相关和线性无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论:

()含有零向量的向量组必线性相关， 2)如果向量组%1,2，nm中有某两个向量a=kCy ()，对应成比例，那么向量组1,2，anm线性 相关； (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的. (4)只有一个向量a的向量组线性相关的充要条件是 0=0;

(4)只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是 =0; (2)如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i=kj (i≠j) ，对应成比例，那么向量组1 ,2 ,.,m线性 相关 ; (1)含有零向量的向量组必线性相关. (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的