《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 矩阵的运算 3-2 逆矩阵

§3.2逆矩阵 一、逆矩阵的定义 二、矩阵可逆的充要条件 三、可逆矩阵的性质 四、典型例题

§3.2 逆矩阵 一、逆矩阵的定义 二、矩阵可逆的充要条件 四、典型例题 三、可逆矩阵的性质

一、逆矩阵的定义 定义3.2.1设A是一个n阶方阵，若存在n阶方阵B,使得 AB=BA=E 则称A可逆的，并称B为A的逆矩阵 例如 4e=[A月 有AB=BA=E,所以A与B互为逆阵. 说明：(1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的

定义3.2.1 设A是一个n阶方阵,若存在n阶方阵B,使得 AB = BA = E 则称 A 可逆的，并称B 为 A 的逆矩阵. 一、逆矩阵的定义 1 2 5 2 , 2 5 2 1 A B     − = =         − 有AB = BA = E ，所以A 与 B 互为逆阵. 例如 说明: (1)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的

若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E, 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C, 所以A的逆矩阵是唯一的，记作A1B=C=A (2)上述等式中A和B的地位是对称的. 3)并不是任意一个矩阵都是可逆矩阵. 下面我们讨论矩阵可逆的条件

若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以A的逆矩阵是唯一的,记作A -1 1 B C A . − = = (3)并不是任意一个矩阵都是可逆矩阵. 下面我们讨论矩阵可逆的条件。 (2)上述等式中A和B的地位是对称的

二、矩阵可逆的充分必要条件 1.伴随矩阵设 41 12 A= 21 422 nn- 我们构造矩阵 A A . An A三 An 称为A的伴随矩阵

我们构造矩阵 称为 A 的伴随矩阵. 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       二、矩阵可逆的充分必要条件 1.伴随矩阵 11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A       =      

1.说明：（①）A中元素是A中各元素的代数余子式。 (2)A中各元素的代数余子式的排列顺序问题， 行的余子式按列排或列的余子式按行排 12-1 例题1、求矩阵=310 的伴随矩阵 -10-2 A1=-2,A21=4,A1=1 [-2 41 42=6A2=-3,42=-3A= 6 -3 -3 A13=1,A3=-2,A3=-5 1 -2 -5

例题1、求矩阵 的伴随矩阵.           − − − = 1 0 2 3 1 0 1 2 1 A * 2 4 1 6 3 3 1 2 5 A   −   = − −       − − 1.说明：(1)A * 中元素是A中各元素的代数余子式。 . (2) 行的余子式按列排或列的余子式按行排 A中各元素的代数余子式的排列顺序问题， 2, A11 = − 4, A21 = A31 =1 1, A13 = 2, A23 = − 5 A33 = − 3, A12 = 6, A22 = − A32 = −3

2.伴随矩阵的性质 14n+a,++an4n=1i=j 0i≠ ,+4++an=i=j 0i≠j 可得： 1A0 .0 01A1 . 0 AA=AA= =AE 0 0 A 只要A0,就有（有）=()1=E

可得： * * | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A AA A A A E A     = = =         1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a A i j A i j a A a A a A i j  = + + + =     = + + + =    1 1 * * A A A A A E 0 ( ) ( ) A A 只要  = = ，就有 2.伴随矩阵的性质

3.定理3.2.1（可逆的充分必要条件) n阶方阵A可逆A≠0，而且A1= 证明 "="(充分) 已证 "→"（必要） 若A可逆，则存在A1,使得AA1=E 两边取行列式，得|AA1=A‖A=E=1 所以 |A≠0

3.定理3.2.1（可逆的充分必要条件） . | | 1 | | 0 −1    = A A n阶方阵A可逆 A ，而且A 证明 ""(充分) 已证. ""(必要) 1 1 A A AA E − − 若 可逆，则存在 ，使得 = 两边取行列式，得 1 1 | | | || | | | 1 AA A A E − − = = = 所以 | A| 0

推论1若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B,使 AB=E或BA=E 则A可逆，且B和A互为逆矩阵. 证明：设AB=E则|AB=A‖B=E=1 所以|A≠0，由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A1,则有 B=EB=(A-A)B=A-(AB)=A-E=A- 同理可证，若BA=E,则B=A1

推论1 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使 AB=E 或 BA=E 则A可逆，且B和A互为逆矩阵. 证明： 设AB=E 则 | | | || | | | 1 AB A B E = = = 所以 | | 0, A  由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A -1 ,则有 B EB = = 1 ( ) A A B − 1 A AB ( ) − = 1 A E− = 同理可证，若BA=E，则 1 B A . − = 1 A − =

三、可逆矩阵的性质 (1)若A可逆，则A,A亦可逆，且 (A)1=A,(A)=(A). (2)若A可逆，数1≠0，则2A可逆，且 a-克r (3)若A,B均可逆，则AB亦可逆且 (AB)=B-A-

三、可逆矩阵的性质 ( ) 1 1 1 1 1 1 , , , ( ) , ( ) ( ) . A A A A A A A − − − − −  = =   若 可逆 则 亦可逆 且 ( ) ( ) 1 1 2 , 0, , 1 . A A A A     − −  = 若 可逆 数 则 可逆 且 ( ) 1 1 1 3 , , , ( ) A B AB AB B A − − − = 若 均可逆 则 亦可逆 且

证明：（①）·AA1=AA=E.A1可逆， 且有 （A1)-1=A. 又A=A≠0，A何逆， 对AA1=A1A=E,两边取转置得 (A)'A=A(A)y=E.(A)=(A)' (2):几A=元"A≠0(n为A的阶数)A可逆 又AA1=AA=E 24)=(分元A=五即(aA0= A-

1 1 ( ) ( ) A A A A E − −     = = 1 1 ( ) ( ) A A − −  =   又 A A A   =  0， 可逆, 证明： 1 1 (1) AA A A E − − = = 1 A . −  可逆 1 1 ( ) . A A − − 且有 = 1 1 AA A A E − − 对 = = ，两边取转置得 (2) 0( ) n   A A n A =  为 的阶数 A可逆. 1 1 AA A A E − − 又 = = 1 1 1 1 ( )( ) ( )( )   A A A A E   − −  = = ， 1 1 1 ( ) A A  − − 即 =