《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 留数及其应用 5.4 对数留数与辐角原理

第四节对数留数与辐角原理 一、对数留数 二、辐角原理 三、儒歇定理 四、典型例题

第四节对数留数与辐角原理 一、对数留数 二、辐角原理 三、儒歇定理 四、典型例题

一、对数留数 1.定义5.6 形 d的积分称为f(z)关于C的对数留数. 对于对数留数，我们有下面的一个重要定理 定理5.10如果f(z)在简单闭曲线C的内部除去有限 各极点外是解析的，并在C上解析且不为零，则有 2如1得=-P

一、对数留数 1.定义5.6 ( ) . ( ) ( ) 2 1 ' 形如 dz的积分称为f z 关于C的对数留数 f z f z i  C 对于对数留数，我们有下面的一个重要定理 各极点外是解析的 并在 上解析且不为零 则有 定理 如果 在简单闭曲线 的内部除去有限 , , 5.10 ( ) C f z C dz N P f z f z i C = −  ( ) ( ) 2 1 ' 

其中W为f(z)在C内的零点的总个数，P为f(z)在C内 的极点的总个数，在计算零点与极点的个数时，m阶 的零点或极点算作m个零点或极点 证明：设f(z)在C内有一个n阶的零点ak,则在a的邻 域内，有 f(z)=(z-a)"o(=) 其中p(z)在a,则在a,的邻域内解析，且p(a)≠0，有 f()=nk+0(2） f() z-dk p(z)

. , , ( ) , ( ) 的零点或极点算作 个零点或极点 的极点的总个数 在计算零点与极点的个数时 阶 其中 为 在 内的零点的总个数 为 在 内 m m N f z C P f z C 域内 有 证明 设 在 内有一个 阶的零点 则在 的邻 , : ( ) , C nk ak ak f z f (z) (z a ) (z) k n = − k  其中(z)在ak ,则在ak 的邻域内解析,且(ak )  0,有 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' z z z a n f z f z k k   + − =

因为p(z)在a处解析，所以p'(z)在a处解析，且p(ak)≠0， 从而2已在a,处解折，所以a,是包 简单极点，且留数 p(=) f(a) 为nk: 设f(z)在C内有一个p阶的极点b,则在b的邻域内，有 1 fa)Fe-na 其中(z)在b的邻域内解析，且yw(b)≠0，于是有 f()_-PLv(E) f(2)z-bk v()

( ) , ( ) , ( )  0, k k k 因为 z 在a 处解析 所以 z 在a 处解析 且 a ‘ . , ( ) ( ) , ( ) ( ) k k k n f z f z a a z z 为 从而 在 处解析 所以 是 简单极点 且留数 ‘ ‘   设f (z)在C内有一个pk 阶的极点bk ,则在bk 的邻域内,有 ( ) ( ) 1 ( ) z z b f z k p k  − = 其中(z)在bk 的邻域内解析,且(bk )  0,于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' z z z b p f z f z k k   + − − =

从而在处解折，所以6，是I回， 简单极点，且留数 w(z) f() 为-Pk: 得-2得%1小得刻 =(n+n2+.+h)-(p+p2+.+pm)=N-P 定理证毕

. , ( ) ( ) , ( ) ( ) k k k p f z f z b b z z 为− 从而 在 处解析 所以 是 简单极点 且留数 ‘ ‘      = = = + m k k l k k C b f z f z a s f z f z dz s f z f z i 1 ' 1 ' ' , ] ( ) ( ) , ] Re [ ( ) ( ) Re [ ( ) ( ) 2 1  = (n1 + n2 ++ nl ) −( p1 + p2 ++ pm ) = N − P 定理证毕

二、辐角原理 定理5.11在定理5.10的条件下，f(z)在C的内部的零点 个数与极点个数之差，等于当沿着C的正向绕行一周 后，argf(z)的改变量除以2π，即 N-P-Acargf() 2元 特别的，当f(z)在C上及C内部解析，且在C上不为零，时 则有 N= Acargf(a) 2π

后 的改变量除以 ，即 个数与极点个数之差 等于当 沿着 的正向绕行一周 定理 在定理 的条件下 在 的内部的零点 ,arg ( ) 2 , 5.11 5.10 , ( ) f z z C f z C arg ( ) 2 1 N P f z − = C  则有 特别的,当f (z)在C上及C内部解析,且在C上不为零,时 arg ( ) 2 1 N f z = C  二、辐角原理

得-e性 10 2ane+aHneta =9-△c arg f(z) 2π 2π Wo=f(zo) 其中△arg f(z)表示z沿C之正向绕 行一周后argf(z)的改变量，它是2π 的整数倍

y x z0 v w0=f(z0 ) u  f z dz dz d i dz f z f z i C C = ln ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 '   [ln ( ) ] [ln ( ) ] 2 1 0 1 0 0  f z i f z i i = + − +     2 arg ( ) 2 1 0 f z C = − = . arg ( ) , 2 arg ( ) 的整数倍 行一周后 的改变量 它是 其中 表示 沿 之正向绕 f z  C f z z C

三、儒歇定理 定理5.12设函数f(z)与g(z)在简单闭曲线在C上及C 内部解析，且在C上f(z>g(z,则在C内f(z)与g(z) 有相同个数的零点 证明 设f(z)及g(z)的零点个数分别为M与N,由于在C上有 g(z)0 因此f(z)与f(z)+g(z)在C上均无零点由辐角原理知 N=安以e-8e=云gie+号 2元

三、儒歇定理 . , ( ) ( ), ( ) ( ) 5.12 ( ) ( ) 有相同个数的零点 内部解析 且在 上 则在 内 与 定理 设函数 与 在简单闭曲线在 上及 C f z g z C f z g z f z g z C C  证明设f (z)及g(z)的零点个数分别为M与N,由于在C上有 g(z)  f (z), 又因为 f + g  f − g  0 因此f (z)与f (z)+ g(z)在C上均无零点.由辐角原理知 arg[ ( ) ( )] 2 1 N f z g z = C +  ]} ( ) ( ) arg{ ( )[1 2 1 f z g z f z = C + 

阳+女g:得 2元 由于在C上有g(z<f(z,即有 <1 故当z在C上移动时，对应的1+(2) 总落在以1为中心， f(a) 为半径的圆肉数+S② 连挥 f 所以经此变换后C的像曲线厂仍是一闭曲线，并且「 完全落在上述圆内，它决不绕过坐标原点w=0,有

] ( ) ( ) arg[1 2 1 arg ( ) 2 1 f z g z f z = C + C +   由于在C上有g(z)  f (z),即有 1 ( ) ( )  f z g z 故当 在 上移动时 对应的 总落在以1为中心， ( ) ( ) , 1 f z g z z C + 完全落在上述圆内 它决不绕过坐标原点 有 所以经此变换后 的像曲线 仍是一闭曲线 并且 , 0, , =   w C , ( ) ( ) 1为半径的圆内 ,由于函数1 连续 f z gz w= +

△r arg w=0 从而有Aarg1+(]=0 f(a) 于是得到N=△carg/()==M 定理证毕 2元 下面举例说明利用儒歇定理解决解析函数在区域内 的零点个数的问题！ 例题5.28求方程z8-5z5-2z+1=0在<1内根的个数

 arg = 0  w ] 0 ( ) ( )  arg[1+ = f z g z 从而有 C N = C arg f (z) = M 2 1  于是得到 定理证毕. 的零点个数的问题. 下面举例说明利用儒歇定理解决解析函数在区域内 5.28 5 2 1 0 1 . 例题 求方程z 8 − z 5 − z + = 在z  内根的个数