《高等数学》课程教学资源（章节练习）第三章练习题

第三章练习题 练习一 一、填空题 1、设在[a,上连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点EE(a,b),使e/-e@=一 2、函数x)=在区间1,2上满足拉格朗日中值定理中的= 3、x)=1-2在1，门上不满足罗尔定理的条件是 4、函数x)=e在区间0，]上的有限增量公式中的0= 5、函数x)=(x-)(-2)(x3)(x4),则fx)=0有分别位于区间 内的 三个实根. 6、设x)=之，gx+1,则由柯西中值定理，在(1,2)内存在一点=一使 f2)-f)-(5) g(2)-g1)g(5) 二、证明：若x)在（一，十）内导数恒为常数，则x)在（一D,十o)内是一线性函数，即x)=a +b,其中a,b为常数，一<十 三、已知函数)0，]上连续，在(0,1)内可导，且0=1,1)=0，求证在(0,1)内至少存在 点6使了(=-组

45 第三章 练习题 练习一 一、填空题 1、设 f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则至少存在一点 ξ  (a, b)，使 f (b) f (a) e − e ＝ . 2、函数 f(x)＝x 4 在区间[1, 2]上满足拉格朗日中值定理中的 ξ＝ . 3、f(x)＝1- x 2/3 在[-1, 1]上不满足罗尔定理的条件是 . 4、函数 f(x)＝e x在区间[0, 1]上的有限增量公式中的 θ＝ . 5、函数 f(x)＝(x-1) (x-2) (x-3) (x-4)，则 f΄(x)＝0 有分别位于区间 、 、 内的 三个实根. 6、设 f(x)＝x 3，g(x)= x 2+1，则由柯西中值定理，在(1,2)内存在一点 ξ＝ ，使 '( ) '( ) (2) (1) (2) (1)   g f g g f f = − − . 二、证明：若 f(x)在(－∞，＋∞)内导数恒为常数，则 f(x)在(－∞，＋∞)内是一线性函数，即 f(x)=ax ＋b，其中 a,b 为常数，－∞<x<＋∞. 三、已知函数 f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，求证在(0,1)内至少存在一 点 ξ，使    ( ) '( ) f f = −

四、设x)在[a,上连续，在(a,b)内可导b>a>0,求证存在一点5∈(a,b,使 n(6)-f(a)-(-). 25 五、证明下列不等式 。>0叭 a 20 Inx 3、|smx2-smxx2-x,其中，为任意实数

46 四、设 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(b>a>0)，求证存在一点 ξ  (a,b)，使 ( ) 2 '( ) ( ) ( ) 2 2 b a f f b − f a = −   . 五、证明下列不等式 1、 ln .(   0) −   − a b b a b b a a a b 2、 ( 1). ln 1 ln(1 )  +  + x x x x x 3、|sin sin | | | 2 1 2 1 x − x  x − x ，其中 x1，x2 为任意实数

练习二 一、利用罗必塔法则求极 上 2、mnx 3.lim x(e -1) 4g台 5.ling n 6、m(x+V1+x2)

47 练习二 一、利用罗必塔法则求极限 1、 x x x 1 cos 3 1 cos 2 lim 0 − − → 2、 x e x x ln lim 1/ 0 → + 3、 lim ( 1) 1/ − → x x x e 4、 ) 1 1 1 lim ( 0 − − → x x x e 5、 x x x sin 0 lim → + 6、 x x x x 2 1/ lim ( + 1+ ) →+

入m(cosF) 8、mg",0<g<l,neN) 三一、设具有-阶连续导数，00，了02，求mm0s 三、设具有=阶号数/正明=鸟+》-2+-创 因，设民有二价好数，在0的某去心能城纳0，且n四=0了0=4，求 m1+

48 7、 x x x / 0 lim (cos )  → + 8、 lim nq ,(0 q 1,n N) n n    → 二、设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=2，求 2 0 tan (1 cos ) lim x f x x − → 三、设 f(x)具有二阶导数 f’’(x)，证明 f’’(x)＝ 2 0 ( ) 2 ( ) ( ) lim h f x h f x f x h h + − + − → 四、设 f(x)具有二阶导数，在 x=0 的某去心邻域内 f(x)  0，且 0, ' '(0) 4 ( ) lim 0 = = → f x f x x ，求 x x x f x 1/ 0 ) ( ) lim (1+ →

练习三 一、求1中2在=0处的阶多项式 二、求函数一xd的n阶麦克劳林展开式. ◆三、应用三阶奏勒公式，求sinl8近似值，并估计误差

49 练习三 一、求 f(x)= 1 2x 1 + 在 x＝0 处的 n 阶泰勒多项式. 二、求函数 y=xex的 n 阶麦克劳林展开式. *三、应用三阶泰勒公式，求 sin180 近似值，并估计误差

四、x)在a,b上具有n阶导数，且abf(a)F∫(b∫b.=-(6)0,证明在(a b)内至少存在一点5，使(E)=0,a<5<b

50 四、 f(x)在[a, b]上具有 n 阶导数，且 f(a)= f(b)= f’(a)= f’(b)= f’’(b)=.= f (n-1)(b)=0，证明在(a, b)内至少存在一点 ξ，使 f (n) ( ξ)=0，a<ξ<b

练习四 一、填空题 1、设x)在(a,b)内可导，则f(x)>0是x)在a,b)内单调增加的_条件. 2、函数x)=(1)x2n的单增区间是 ,单减区间是 3、若x)在ab上连续，在(ab)内可导，且x∈(a,b)时，fx)P0,又a0,则x)在a,b ,但)的正负号 二、x)在[a,1上可导，为a,b)内一定点，>0，fxXx-≥0，证明在[a,上>0 三、证明下列不等式 ko0时，anx+子号 280时.x- <shx<x. 三、证方程x+p+qcosx0恰有一个实根，其中p,q为常数，且0<q1

51 练习四 一、填空题 1、设 f(x)在(a, b)内可导，则 f’(x)>0 是 f(x)在(a, b)内单调增加的 条件. 2、函数 f(x)＝(x-1)x 2/3 的单增区间是 ，单减区间是 . 3、若 f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且 x  (a, b)时，f’(x)>0，又 f(a)0，f`(x)(x-ξ)  0，证明在[a, b]上 f(x)>0. 三、证明下列不等式 1、x>0 时， 2 1 arctan  +  x x . 2、x>0 时， x x x x −  sin  3! 3 . 三、证方程 x+p+qcosx=0 恰有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0<q<1

练习五 一、填空题 1、若x)可导，则f(o)=0是x)在x=和取得极值的 一条件 2、设Fx)=c2+1),>0,在=处取得极小值，其值为 3、当=±1时，函数x=+3r+1达到极值，则p= 三、x+2+bx+2在x=和x2处取得极值，试确定a,b的值，并证明x)是极大值，幻 是极小值 四、证明若a2<3b,则=x2+ar2+br+c没有极值

52 练习五 一、填空题 1、若 f(x)可导，则 f’(x0)＝0 是 f(x)在 x=x0 取得极值的 条件. 2、设 F(x)=c(x 2+1)2，c>0，在 x= 处取得极小值，其值为 . 3、当 x=  1 时，函数 f(x)=x 3+3px+1 达到极值，则 p= . 二、设 f(x)满足 3 f(x)－f( x 1 )= x 1 ，x  0，求 f(x)的极值. 三、y=x 3+ax2+bx+2 在 x1=1 和 x2=2 处取得极值，试确定 a，b 的值，并证明 y(x1)是极大值，y(x2) 是极小值. 四、证明若 a 2<3b，则 y=x 3+ax2+bx+c 没有极值

练习六 一、填空题 、若=e-,则fx)=—题f)=— 2、函数砂了一4x+2在2，止最小值是一 入福酸0≤34准一叔得曼小值，在一取利经大监 二、设x=r(1-xmeM,试求(x)在0≤x≤1上最大值Mm:(2)mM(n) 三、一密闭容器下端为直圆柱体，上部是半球体，（它们半径相同），设此容器容积为《常数， 问直圆柱体半径r和高h为何值时，该容器表面积为最小？

53 练习六 一、填空题 1、若 f(x)＝ |x−3| e ，则 = −   max ( ) 5 5 f x x ， = −   min ( ) 5 5 f x x . 2、函数 f(x)= 4 2 3 3 − x + x 在[-2，1]上最小值是 . 3、函数 f(x)= 1 1 + − x x ，(0  x  4 )在 x= 取得最小值，在 x= 取得最大值. 二、设 f(x)=nx(1-x) n (n  N)，试求(1) f(x)在 0  x  1 上最大值 M(n)；（2） lim M (n) n→ . 三、一密闭容器下端为直圆柱体，上部是半球体，(它们半径相同)，设此容器容积为 V(常数)， 问直圆柱体半径 r 和高 h 为何值时，该容器表面积为最小?

练习七 一、填空题 1、若=252+3x5,则函数图形的拐点是一，在区间内上凸，在区 间 内下凸. 2、若点(1,3)为曲线=m+bx2的拐点，则ae,b=_ 1 3线)一子一4一5的水平渐近线是—沿直新近线是 二、利用函数图形四凸性证明：c0s专五>c0s0五，∈(-受受 2 2 三、画出数y=12+1(>0)的图形

54 练习七 一、填空题 1、若 y=x 3 -5x 2+3x-5，则函数图形的拐点是 ，在区间 内上凸，在区 间 内下凸. 2、若点(1，3)为曲线 y=ax3+bx2 的拐点，则 a= ，b= . 3、曲线 4 5 1 2 − − = x x y 的水平渐近线是 沿直渐近线是 . 二、利用函数图形凹凸性证明： ). 2 , 2 , , ( 2 cos cos 2 cos 1 2 1 2 1 2    − +  + x x x x x x 三、画出函数 2 1 2 x x y − = ＋1（x＞0）的图形