《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第三章 多维随机变量及其分布 第二节 边缘分布

第二节边缘分布 一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘概率密度

二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘概率密度 一、边缘分布函数 第二节 边缘分布

问题：已知(X,Y)的分布，如何确定X的分布？ ↓ F(x,y)=P{X≤x,Y≤y},Fx(x)=P{X≤x}, P{X≤x}=P{X≤x,Y<o}=F(x,o)=Fx(x) I (X,Y)关于X的边缘分布函数

问题: ( , ) , ? 已知 X Y X 的分布 如何确定 的分布 F(x, y)  P{X  x,Y  y}, F (x) P{X x}, X   P{X  x}  P{X  x,Y  }  F(x,) F (x)  X (X,Y )关 于X的边缘分布函数

一、边缘分布函数 定义设F(x,y)为随机变量(X,Y)的分布函数， 则F(x,y)=P{X≤x,Y≤y以. 令y→0，称P{X≤x}=P{X≤x,Y<o}=F(x,o) 为随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数 记为Fx(x)=F(x,o): 同理令x→0， Fy(y)=F(o,y)=P{X<∞，Y≤y}=P{Y≤y} 为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数

F ( y) F( , y) P{X ,Y y} P{Y y} Y         为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数. ( , ) ( , ) , ( , ) { , }. , { } { , } ( , ) ( , ) . F x y X Y F x y P X x Y y y P X x P X x Y F x X Y X             设 为随机变量 的分布函数 则 令 称 为随机变量 关于 的边缘分布函数 F (x)  F(x,). 记为 X 定义 同理令 x  , 一、边缘分布函数

二、离散型随机变量的边缘分布律 定义设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布 律为 P{X=x,Y=yj}=Pi,j=1,2,. 记 p.=∑pg=PX=xhi=1,2y i=1 p=P防=PY=y,j=12,. i1 分别称p.(i=1,2,)和p.(j=1,2,)为(X,Y) 关于X和关于Y的边缘分布律

. ( 1,2, ) ( 1,2, ) ( , ) { }, 1,2, , { }, 1,2, , { , } , , 1,2, . ( , ) 1 1 关于 和关于 的边缘分布律 分别称 和 为 记 律为 设二维离散型随机变量 的联合分布 X Y p i p j X Y p p P Y y j p p P X x i P X x Y y p i j X Y i j j i j ij i j i ij i j ij                              二、离散型随机变量的边缘分布律 定义

X y X P11 p12 P x2 P21 P22 . P2i x Pa Pi2 Pi PX=}=Pg,i=12, i= PY=y}=∑Pj=1,2

{ } , 1,2, ; 1        P X x p i j i ij { } , 1,2, . 1        P Y y p j i j ij X Y 1 2 i x x x 1 2 j y y y 11 12 1 21 22 2 1 2 j j i i ij p p p p p p p p p

例1已知下列联合分布律求其边缘分布律， 2 0.1 0.3 0 1 0.10.05 0.45 注意 联合分布 边缘分布

例1 已知下列联合分布律求其边缘分布律. X Y 1 0 2 1 0 0.1 0.3 0 0.1 0.05 0.45 注意 联合分布 边缘分布

三、连续型随机变量的边缘概率密度 定义对于连续型随机变量(X,Y),设它的概率 密度为f(x,y),由于 Fx(x)=F(x,)=["If(x,y)dyldx, 记 fx(x)=["f(x,y)dy, 称其为随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度

( , ) . ( ) ( , )d , ( ) ( , ) [ ( , )d ]d , ( , ), ( , ), 称其为随机变量 关于 的边缘概率密度 记 密度为 由于 对于连续型随机变量 设它的概率 X Y X f x f x y y F x F x f x y y x f x y X Y X x X             定义 三、连续型随机变量的边缘概率密度

同理可得Y的边缘概率密度 F(v)-F()=f(x)dxdy, -ff.yx Y的边缘概率密度

同理可得 Y 的边缘概率密度 ( ) ( , )d .    f y  f x y x Y Y 的边缘概率密度. ( ) ( , ) ( , )d d ,        y Y F y F y f x y x y

例2设随机变量X和Y具有联合概率密度 f(x,y)= 6, x2≤y≤x, 0, 其他。 求边缘概率密度fx(x),f(). 解当0≤x≤1时， fx(x)=f(x,y)dy=56dy=6(x-x). 当x1时，fx(x)=∫f(x,)dy=0. 因而得fx)=0, 6(x-x2),0≤x≤1， 其他

( ), ( ). 0, . 6, , ( , ) 2 f x f y x y x f x y X Y 求边缘概率密度 X Y 其他 设随机变量 和 具有联合概率密度     解 当 0  x  1 时, y  x 2 y  x O x y (1,1) f x f x y y X ( ) ( , )d      xx y 2 6d 例2 6( ). 2  x  x 当 x  0 或 x  1时, ( )  ( , )d  0.   f x f x y y X      0, . 6( ), 0 1, ( ) 2 其他 因而得 x x x fX x

同理 f)=[f,y)dx 1 0=X [6dx,osys1- 0, 其他 6(Vy-y),0≤y≤1， 0. 其他

同理fY ( y) f (x, y)d x             0, . 6( ), 0 1, 其他 y y y          0， 其他 6d x, 0 y 1 y y y  x 2 y  x O x y (1,1)