《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）2.4 连续型随机变量及其概率密度

第四节连续型随机变量及其概率密度 一、连续型随机变量及其 概率密度的概念与性质 二、常见连续型分布

一、连续型随机变量及其 概率密度的概念与性质 二、常见连续型分布 第四节 连续型随机变量及其概率密度

一、连续型随机变量及其概率密度 1.定义 如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x), 使对于任意实数x有Fx)=」nfu)d, 则称X为连续型随机变量，其中(x)称为X的概率密度函数， 简称概率密度 注：连续型随机变量X的分布函数F(x)是连续函数

一、连续型随机变量及其概率密度 1. 定义 ( ) ( ) ( ( )d , ) x X f x F x f F x x t t − =  如果对于随机变量 的分布函数 ，存在 ， 使对于任意实数 有 非负函数 , ( ) . 则称 X f 为连续型随机变量 其中 x 称为 X的概率密度 , 简称概 数 率密度 函 注：连续型随机变量X的分布函数F x( ) . 是连续函数

2.性质 F)=P{X≤x=∫f)di (1)f(x)20; (2)∫nfx)dx=1 (3)对于任意实数x1,x2(x1≤x2) P(xa}=1-PX≤ =1-Fa)=∫fx)dx. (4)若f(x)在点x处连续，则有F(x)=f(x):

(1) ( ) 0; f x  (2) ( )d 1 f x x  − =  1 2 1 2 (3) , ( ) 对于任意实数 x x x x  2. 性质 ( ) ( )d   x F x P X x f t t − =  =  P X a F a { } ( )  = ( )d , a f x x − =  P X a P X a { } 1 { }  = −  = −1 ( ) F a ( )d . a f x x  =  同时得以下计算公式 o x f x( ) 1 x • 2 x • (4) ( ) , 若 f x x 在点 处连续 则有 F x f x ( ) ( ). = 1 2 P x X x { }   2 1 2 1 ( ) ( ) ( )d . x x = − = F x F x f x x 

例1.设随机变量X具有概率密度 kx, 0≤x<3, f2- 3≤x≤4， 典型题型！ 0, 其他. (1)确定常数k; O求X药分布画我：⊙)米Pl<Xs 解（④由∫f(x)dx=1, 得心cdx+2-dx=l解之得k=

, 0 3, ( ) 2 , 3 4, 2 0, . 7 (1) ; (2) ; (3) {1 . 1 } 2 . X kx x x f x x k X P X      = −        设随机变量 具有概率密度 其他 确定常数 求 的分布函数 求 例 解 (1) ( )d 1, f x x  − = 由  3 4 0 3 d (2 )d 1, 2 x kx x x + − = 得   1 . 6 解之得 k = 典型题型！

(2)由k=二知X的概率密度为 6 若 0≤x<3, f(x)= 2-克3sx≤4，由F=∫广fdx符 0, 其他 0, x<0, ax 0≤x<3, F(x)= 若dr+2-x,3≤x<4 1, x≥4

f x( )    =     , 0 3, 6 2 , 3 4, 2 0, x x x x   −   其他. 1 (2) 6 由 k X = 知 的概率密度为 ( ) ( )d x F x f x x − = 由  得 0 3 0 3 0, 0, d , 0 3, 6 ( ) d (2 )d , 3 4, 6 2 1, 4. x x x x x x F x x x x x x x        =   + −         

0 x<0, 即F(x)= 12, 0≤x<3, 3+2x- 3≤x<4, x≥4. 0≤x<3, )PI<x≤2-F-F0 f(x)= 2、 3≤x≤4， 41 0, 其他. 48 或 asf fdy

2 2 0, 0, , 0 3, 12 ( ) 3 2 , 3 4, 4 1, 4. x x x F x x x x x      = − + −     即 7 (3) {1 } 2 P X   7 ( ) (1) 2 = − F F 41 . 48 = f x( )    =     , 0 3, 6 2 , 3 4, 2 0, x x x x   −   其他. 7 {1 } 2 或 P X   7 2 1 = f x x ( )d  41 . 48 = =

说明：1)limf(x)=limf(x)=0; 2)P{x1P{a≤X≤b}=P{a<X≤b}=P{a≤X<b} =Pa<X<b}-∫fx)dx 5)概率为0的事件不一定是不可能事件。同样，概率为1的 事件也不一定是必然事件。 若X为离散型随机变量， {X=}是不可能事件台PX=}=0 X的概率密度连续性 X的概率分布~X的分布函数~ X的分布律离散型

3）P x X x x f x x x { }   +     ( ) （ 很小） 说明： 2 { } ）P x X x 1 2   为相应曲边梯形的面积 4）若X 为连续型随机变量，则对任一实数 a， 有 P{X=a}=0. P a X b { }   =   P a X b { } =   P a X b { } ( )d b a = f x x  =   P a X b { } { } X a = 是不可能事件  = = P X a { } 0. 若 X为离散型随机变量， 5）概率为0的事件不一定是不可能事件。同样，概率为1 的 事件也不一定是必然事件。 1) lim ( ) lim ( ) 0; x x f x f x →− →+ = = X的概率分布 ~ X的分布函数~  X的概率密度——连续性   X的分布律——离散型

二、常见的连续型随机变量 要求：牢记密度函数及 其图像！ 1.均匀分布 定义设连续型随机变量X具有概率密度 (x) f()- a<x<b, 0, 其它， 0 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记作X~U(a,b), 验证： (1).对任意的x,有f(x)≥0； 2-了y=j6是= 说明：若X~U(a,b),则它落在区间(a,b)的子区间内 的概率与子区间长度成正比而与子区间的位置无关

, ~ ( , ). 1 , , ( ) 0, , ( , ) X a x b f x b a X a b X U a b     =  −  设连续型随机变量 具有概率密度 其它 定 则称 在区间 上服从均匀分 记作 义 布 二、常见的连续型随机变量 1. 均匀分布 ⑴．对任意的x f x ，有 ( )  0； ( ) 1 1 b a f x dx dx b a + − = = − ⑵．  若X U a b a b ~ ( , , )，则它落在区间( )的子区间内 的概率与子区间长度成正比而与子区间的位 说明： 置无关。 验证: 要求：牢记密度函数及 其图像！ o x f (x) a b

a<x<b 0, 其他 分布函数： IF(x) 0, x<, F()= x-a b-a a≤x<b, 1, x≥b

a • 0, , ( ) , , 1, . x a x a F x a x b b a x b    − =      分布函数: o x F x( ) b • 1 1 , ( ) 0, a x b f x b a     =  −  其他

例2设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900欧~1100欧. 求R的概率密度及R落在950欧~1050欧的概率. 解由题意，R~U(900,1100) o- /(1100-900), 900<r<1100, , 其他。 900<r<1100, o, 其他. 故有 050)00d0.5

例2 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900欧~1100欧. 求R的概率密度及R 落在950欧~1050欧的概率. 解 由题意，R ~U(900,1100) 1 (1100 900), 900 1100, ( ) 0, . r f r  −   =   其他 故有 P R 950 1050    1050 950 1 d 0.5. 200 = = r  1 , 900 1100, 200 0, . r     =   其他