《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用_第二节 洛必达法则_洛必达法则

第二讲 洛必达法则

第二讲 洛必达法则

洛必达法则 一、洛必达法则 二、其它未定型的处理 三、理论应用

洛必达法则 一、洛必达法则 二、其它未定型的处理 三、理论应用

洛必达法则 一、洛必达法则 二、其它未定型的处理 三、理论应用

洛必达法则 一、洛必达法则 二、其它未定型的处理 三、理论应用

洛必达法则 情形不的洛必达法则 > 一情形下的洛必达法则 (1)lim f(x)=lim F(x)=0 (1)lim f(x)=lim F(x)=co x-0 x->a (2)在点a的某去心邻域内， (2)当|x>N时，f'(x,F(x) f'(x),F'(x)存在且F'(x)≠0 存在且F'(x)≠0 ③)im f(x) 在（或为o) (3)lim f'(x) aF'(x） 存在（或为∞） x→aF'(x) 则 lim =lim f'(x) 则 limf)=lim) x→aF(x →aF'(x) a F(x) x→aF'(x) ●注 在相应的条件下，对其它过程也成立

一、洛必达法则 若 ➢ 情形下的洛必达法则 0 0 lim ( ) = lim ( ) = 0 → → f x F x x a x a (1) (2) (3) 则 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x a x a f x f x → → F x F x  =  情形下的洛必达法则   ➢ f (x), F(x) 存在，且 F(x)  0 在点a的某去心邻域内,  ( ) ( ) lim F x f x x a   → 存在(或为 ) 若 = =  → → lim f (x) lim F(x) x a x a (1) (2) (3) 则 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x a x a f x f x → → F x F x  =  ( ) ( ) lim F x f x x a   → 存在(或为  ) 且 F(x)  0 f (x), F(x) 存在， 当 | x | N 时, ⚫注 在相应的条件下,对其它过程也成立

一、洛必达法则 >应用举例 ◆例1 x-sInx lim ◆例2 Inx lim- x>0 x→1x-1 ◆例3 lim (1+x)2-1 sinx ◆例4 lim x>0 x x→0元 arctan 2 π sInx arctanx ◆例5 lim 2 x→0 π 1 ◆例6 lim -arctan- X>+0 2 X Inx ◆例7 lim ◆例8 lim Ax (2>0) X-→+00 x->+0

一、洛必达法则 ➢应用举例 ◆例1 3 0 sin lim x x x x − → ◆例2 1 ln lim →1 x − x x ◆例3 ( ) x x x 1 1 lim 0 + − →  ◆例4 x x x 1 arctan 2 sin lim 0 − → +  ◆例5 x x x 1 arctan 2 sin lim 0 − → −  ◆例6 x x x 1 arctan 2 lim − →+  ◆例7 n x x ln x lim →+ ◆例8 lim (  0) →+  x n x e x

洛必达法则 >注意问题 ●洛必达法则可以多次使用 例 ex-e x-2x lim x->0x-sinx 特别是第一个条件 ●使用时应注意验证条件 x3-3x+2 特别是在多次使用时 例lim x1x3-x2-x+1 ●应注意和其它方法配合使用 例 lim Vx etanx -ex x→01-e lim x→0 tanx-x x+cOSx ●条件3只是充分条件 例 lim X→0

一、洛必达法则 ➢注意问题 ⚫洛必达法则可以多次使用 例 x x e e x x x x sin 2 lim 0 − − − − → ⚫使用时应注意验证条件 特别是第一个条件 特别是在多次使用时 例 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x ⚫应注意和其它方法配合使用 例 x x e x 2 0 1 lim − → + x x e e x x x − − → tan lim tan 0 ⚫条件3只是充分条件 例 x x x x cos lim + →

洛必达法则 一、 洛必达法则 二、其它未定型的处理 三、理论应用

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洛必达法则 一、洛必达法则 二、其它未定型的处理 三、理论应用

>其它未定型 0-00010000 转化思路 10 通分 取倒数 取对数 00-00 0.o04 00 有理化 例lim(secx-tanx) x->

➢其它未定型 0 0  − 0 1 0   0 0 例 ( x x) x lim sec tan 2 − →  转化思路    − 通 分 有理化 取倒数 0  1 0 0 0  取对数

>其它未定型 00-00 0.∞10000 转化思路 通 分 取倒数 取对数 00-00 0.o04 00 有理化 00 00 例 lim(secx-tan x) lim xInx x→ x0* 2

➢其它未定型 0 0  − 0 1 0   0 0 例 转化思路    − 通 分 有理化 取倒数 0  1 0 0 0  取对数 x x n x lim ln 0 → + ( x x) x lim sec tan 2 − → 