《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章 不定积分_第二节不定积分的换元法_不定积分的换元法

第二讲换元积分法

第二讲 换元积分法

换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法

换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法

换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法

换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法

>问题 cos xdx sinx+C cos 2xdx >思路 不好积 凑 第一换元法 令u=p(x) 好积 gx)dk→Jf(pps业=Jf(o)dpx)= [f(u)du u=p(x)回代 ∫gxd=F(x)+C F(0+C >定理1设f孔)具有原函数，u=可肆，则有换元公式 ∫/aa恤]u=oe/

➢问题 cos d sin = +  x x x C cos d ? x x =  2 ➢思路 g x x ( )d  不好积 凑 f x x x (  ( ) ( )d )   = f x x (  ( ) d ( ) )  令 u x = ( ) f u u ( )d  好积 F u C ( ) + u x = ( ) 回代 g x x ( )d = F x C (( )) +  第一换元法 ➢定理1   f u u ( )d    u =(x) = f x x ( ( ))d ( )    设f(u)具有原函数， u x =  可导，则有换元公式 ( )

∫/Loe]p(cxidc[fodl]u=oo=jfdoy ◆例1(1)「2cos2xd (2) [cos2xdx 分析 变≥od成功！ lu=2x 凑」 du=(2x)dx =2d cos u du 好积 ◆例2 32 dx 一般地， jac+b达-J月da。a+6Na+

◆ 例 1 2cos 2 dx x  分析 u x = 2 cos u 好积 d 2 d u x x ( ) == 2dx du = cos du u  成功！  2 cos 2x dx (1) (2) cos 2 dx x  12 凑！ ◆ 例 2 1 d 3 2 x + x  一般地， f ax b dx ( ) +  1 f ax b ax b ( )d( ) a = + +  1 f u u ( )d a u ax b = = +  1 cos d 2 = u u    f u u ( )d    u =(x) = f x x ( ( ))d ( )   

在对变量代换比较熟练以后，可以不写出中间变量 >关键 8(x)→ f(o(x))o(x) 被积函数 好积 好凑 >要领 考察不易积分的部分 找出合适的变量代换u=(x)使得f(p(x)好积 设法凑出p'(x) ◆例3求下列不定积分 (I)∫2xed ajx-dx同)∫e中

在对变量代换比较熟练以后，可以不写出中间变量u ➢关键 被积函数 g x( ) f x (( )) 好积 ( ) x 好凑 ➢要领 考察不易积分的部分 设法凑出 ( ) x ◆例3 2 2 dx xe x  2 x x x 1 d −  求下列不定积分 (1) (2) (3) 2 2 1 dx a x +  找出合适的变量代换 u x =  , ( ) 使得 f x (( )) 好积

◆例3求下列不定积分 dx sjgoj0r2a 3、 wew, (10)∫sin'xd (a)∫sm2 wcosxdx(12)∫tan xdx (13)「cos2xdx (I4)∫sn2 xcosxdx(5)∫sec (16) tan3xsec'xdx(17)∫cscxdx(l8)∫secxdx (19)「cos3xcos2xdk

. 1 d  + x e x d . ( ) 2 3 2 2 3  + x x a x 1 d (1 2ln ) x x x +  3 d x e x x  3 sin dx x  2 5 sin cos d x x x  2 cos dx x  csc dx x  sec dx x  6 sec dx x  5 3 tan sec d x x x  cos 3 cos 2 d x x x  ◆例3 求下列不定积分 2 2 1 dx x a −  tan dx x  (4)  − 2 2 a x dx (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) sin x cos xdx 2 4  (15) (16) (17) (18) (19)

换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法

换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法

换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法

换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法

>问题 [爪bs-xidx+C 令x=sin k2成对in1=eos1ost=+sn1os7+C 22 >思路 不好积 凑 第一换元法 令u=p(x) 好积 g(x → 好积 广t@这她三Io加令本 f()dx 第二换元法 不好积 G0+Ct='x回代 u=p(x)回代 fkuF纸y4ot兰 >定理2设托具得脚可导脚可降)则有换宽公试() 具有原函数，则有换元公式 op益ag2n

➢问题 cos d sin = +  x x x C cos d ? x x =  2 ➢思路 g x x ( )d  不好积 凑 f x x x (  ( ) ( )d )   = f x x (  ( ) d ( ) )  令 u x = ( ) f u u ( )d  好积 F u C ( ) + u x = ( ) 回代 g x x ( )d = F x C (( )) +  第一换元法 ➢定理1  f (u)du u =(x) = f x x ( ( ))d ( )    d ? 2 1− =  x x sin d sin 2 1−  t t =  cos cos d  t t t sin cos 1 2 2 = + + t t t C 令 x t = sin ( )d  f x x 不好积 令 x t =ψ( ) ( ( ) d ( ) )   g t t ( )d  f t t t (ψ( ) ( )d )ψ = f t t ψ ψ 好积 G t C ( ) + 1 t x( ) − =ψ 回代 ( ) − + 1 G x C ψ ( ) = ( )d  f x x 第二换元法 ➢定理2 − =      =   1 ( )d ( ( )) ( )d ( ) ψ ψ ψ f x x f t t t t x 设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式 具有原函数,则有换元公式 设x=ψ(t)是单调的可导函数, ψ'(t)≠0. f t t ( ( )) ( ) ψ ψ