《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程_第一节 基本概念、可分离变量的微分方程及齐次方程_基本概念、可分离变量的方程及齐次方程

第一讲 微分方程的基本概念 包分离变量的微分方程 齐次方程

第一讲 微分方程的基本概念 可分离变量的微分方程 齐次方程

微分方程的基本概念 (一)1言 (二)基本概念

一 微分方程的基本概念 （一）引言 （二）基本概念

微分方程的基本概念 (一)引言 (二)基本概念

一 微分方程的基本概念 （一）引言 （二）基本概念

实际问题 函数 变量间的联系 含有未知函数 及其导数的等式 微分方程 ◆例1 一曲线通过点(1,2)，在该曲线上任意点M化y)处的切线的斜率 为2x,求该曲线的方程. ◆例2 某列车在平直线路上以20/s的速度行驶，制动时列车获得 加速度a=0.4m/s2,问开始制动后多长时间列车才能停住以 及列车在这段时间里行驶了多少路程？

实际问题 函数 变量间的联系 含有未知函数 及其导数的等式 求 解 微分方程 ◆例1 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点M(x,y)处的切线的斜率 为2x，求该曲线的方程 . ◆例2 问开始制动后多长时间列车才能停住以 某列车在平直线路上以 的速度行驶, 制动时列车获得 加速度 及列车在这段时间里行驶了多少路程？

微分方程的基本概念 (一) 引言 (二)基本概念

一 微分方程的基本概念 （一）引言 （二）基本概念

微分方程的基本概念 (一) 引言 (二) 基本概念

一 微分方程的基本概念 （一）引言 （二）基本概念

>微分方程 含有未知函数及其导数的方程 一元函数一 常微分方程 未知函数 多元函数 偏微分方程 >微分方程的阶 方程中所含未知函数导数的最高阶数 例：x3y"+x2y”-4y=3x2 三阶微分方程 y-4y"-12y'+5y=sin2x 四阶微分方程 —般地F(x,y,y,ym)=0 阶微分方程 ●注 在阶微分方程中y”的系数不为零，其余项的系数可以为零

常微分方程 偏微分方程 含有未知函数及其导数的方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数 ( , , , , ) 0 ( )  = n 一般地 F x y y  y ➢微分方程 未知函数 一元函数 多元函数 ➢微分方程的阶 例: 3 2 2 x y x y xy x    + − = 4 3 三阶微分方程 (4) y y y y x − − + = 4 12 5 sin2   四阶微分方程 n阶微分方程 ⚫注 在n阶微分方程中 ( ) n y 的系数不为零,其余项的系数可以为零

>微分方程的解 使方程成为恒等式的函数， 通解解中所含独立任意常数的个数与方程的阶数相同 特解不含任意常数的解，其图形称为积分曲线. >定解条件确定通解中任意常数的条件。 n阶方程的初始条件（或初值条件）： ()=yo )()=y() 引例1 引例2 dy =2x d d2y=-04 dx2 yx=1=2 定解条件 d s -0=20 y=x-+C 通s解0.21+Ct+C2 y=x2+1 特5解0.212+201

0 , s t=0 = 20 d 0 d = t t= s 引例2 0.4 2 2 d d = − x y 使方程成为恒等式的函数. 通解 解中所含独立任意常数的个数与方程的阶数相同. ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) − − =  =  = n n y x y y x y  y x y 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 特解 x x y 2 d d = 2 y x=1= 引例1 y = x +C 2 1 2 2 通 s = 解−0.2t +C t +C s 0.2t 20t 2 1 = − + 2 y = x + 特 解 不含任意常数的解, ➢定解条件 其图形称为积分曲线. ➢微分方程的解 定 解 条 件

◆例3验证函数x=C coskt+C2 sinkt C,C,为常数 是微分方程 +k2x=0的解， 并求满足初始条件 dt- dx =0=A =0的特解。 dt t=0 ◆例4已知曲线上点P(化，)处的法线与x轴交点为2， 且线段PQ被y轴平分，求曲线所满足的微分方程

◆例3 验证函数 是微分方程 的解, , x t=0 = A 0 d 0 d = t t = x 的特解 . 并求满足初始条件 C1，C2为常数 ◆例4 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为Q， 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求曲线所满足的微分方程 . P Q x y o x

二可分离变量的微分方程 (一)类型与解法 （二)举例

二 可分离变量的微分方程 （一）类型与解法 （二）举例