《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程_第六节 常系数齐次线性微分方程_常系数齐次线性微分方程

第大讲 常系数齐次线性微分方程

第六讲 常系数齐次线性微分方程

常系数齐次线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 二、阶常系数齐次线性微分方程的解法

常系数齐次线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 二、n阶常系数齐次线性微分方程的解法

常系数齐次线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 二、阶常系数齐次线性微分方程的解法

常系数齐次线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 二、n阶常系数齐次线性微分方程的解法

>思路 y”+py+qy=0(P,4为常数)→线性无关的特解→通解 e"(r2+pr+q)=0 r+r+q=0特征方程 r=1,=1特征根

特征方程 特征根 ➢思路 (p,q为常数) 线性无关的特解 通解 rx y = e

>求解 1.特征方程有两个相异实根1，乃2， y1=e',J,=e,为微分方程的两个线性无关的特解 微分方程的通解：y=Cex+C,ex 2.特征方程有两个相等实根=2 微分方程的一个特解1=ex. 设另一特解y2=hu(x)=e*u(x)(u(c)待定) 代入方程：议x[(w”+27d+2u)+pM+)+9]=0 W"+(2n+p)4+(+pn+q)u=0 1是特征方程的重根 4”=0取w=x,Jy2=xe*, 微分方程的通解y=(C,+C2x)ex

微分方程的一个特解 设另一特解 代入方程: e [ r1 x ( ) ( 2 )+ p u  + r1u + qu  = 0 2 u  + r1u  + r1 u r1是特征方程的重根 u  = 0 取 u = x , e , 1 2 r x y = x 微分方程的通解 r x y C C x 1 ( )e = 1 + 2 ( u (x) 待定) (2 ) ( 1 ) 0 2 u  + r1 + p u  + r1 + p r + q u = ➢求解 1．特征方程有两个相异实根 , 1 2 r ,r 为微分方程的两个线性无关的特解 微分方程的通解： r x r x y C 1 C 2 e e = 1 + 2 1 2 2．特征方程有两个相等实根 r = r

3.特征方程有一对共轭复根n=C+i阝，2=a-i阝 微分方程的两个复数解： y=eai =e(cosBx+isinBx) y2=eix =e(cosBx-isinBx) 利用解的叠加原理，得微分方程的线性无关特解： (+y2)=eax cosBx y2=2i(y1-y2)=eax sin Bx 微分方程的通解：y=ea'(C,cos Bx+C,sin阝x)

微分方程的两个复数解: i x y ( ) 1 e +  = e (cos x i sin x ) x    = + i x y ( ) 2 e −  = e (cos x i sin x ) x    = − 利用解的叠加原理 , 得微分方程的线性无关特解: ( ) 2 1 2 1 1 y = y + y ( ) 2 1 2 1 2 y y y i = − x x   = e cos x x   = e sin 微分方程的通解： e ( cos sin ) y C1 x C2 x x    = + 3．特征方程有一对共轭复根 r1 = + i , r2 = −i 

>通解公式 y”+py'+qy=0(p,9为常数) 特征方程：r2+pr+q=0,特征根：1，乃 特征根 通 解 片≠2实根 y=Cex+Cex 1=h=-号 y=(C+C2x)ea* i,2=a±i阝 y=ea'(C1cosβx+C2 sin Bx)）

y  + p y  + q y = 0 ( p, q为常数) 0, 2 特征方程: r + pr + q = r x r x y C C 1 2 e e = 1 + 2 1 2 特征根 :r , r 实根 r x y C C x 1 ( )e = 1 + 2 e ( cos sin ) y C1 x C2 x x    = + 特 征 根 通 解 ➢通解公式

>举例 ◆例1 求微分方程y”-2y-3y=0的通解 ◆例2 求方程+2d +2 +s=0满足初始条件 dt s-0=4,了=-2的特解. ◆例3求微分方程y”-2y+5y=0的通解

◆例1 ◆例2 求微分方程 y  − 2 y  − 3 y = 0 的通解. 求方程 0 d d 2 d d 2 2 + + s = t s t s 满足初始条件 | 4, | 2 s t=0 = s  t=0 = − 的特解. ◆例3 求微分方程 y  − 2 y  + 5 y = 0 的通解. ➢举例

常系数齐次线性微分方程 一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 二、阶常系数齐次线性微分方程的解法

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