《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分_第三节 定积分的换元法与分部积分法_定积分的换元法与分部积分法

第三讲 定积分的换元法和分部积分法

第三讲 定积分的换元法和分部积分法

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定积分的换元法与分部积分法 一、换元法 二、分部积分法

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>定理 假设函数x)在区间a,b]上连续，函数x=p(t)满足条件： (1)p(a)=a,p(B)=b; (2) p(t)在a,B](或LB,a上具有连续导数， 且其值域R。=4,b], 则有： f=2几omop'eotd 定积分换元公式

➢定理 (2) 则有: ( )d [ ( )] ( )d b a f x x f t t t   =     定积分换元公式 (1) () = a,( ) = b; 假设函数f(x)在区间[a,b]上连续,函数 x = (t) 满足条件: 在 且其值域 (t) [, ] (或 [ ,] )上具有连续导数， R = [a,b], 

fxdc=∫2 ●☒注(1)换元过程 ["f() 被积函数f(x)→f(t) 三个变化 积分元素dx→p'(t)dt 积分区间a,b]一→IC,P]或 fo(t)'(t)dt [B,a] (2)公式特点 变量不必回代 换元必换限 必须注意积分限上限对上限 下限对下限 ◆例1计算V匠-xd(a>0) 注意简便算法

⚫注 (1) 换元过程 ( )d [ ( )] ( )d b a f x x f t t t   =     ( )d b a f x x  三 个 变 化 被积函数 f x( ) f t ( ( ))  积分元素 dx ( )dt t 积分区间 [ , ] a b f t t t [ ( )] ( )d      (2) 公式特点 变量不必回代 必须注意积分限 换元必换限 上限对上限 下限对下限 ◆例1 ◆例2 注意简便算法 [ , ]   [ , ]   或 2 2 0 d ( 0) a a x x a −   计算 4 0 2 d 2 1 x x x + + 计算

"f(dx= (()dt 换元公式可以反过来使用： ∫f1e(d=∫fe)dr ●注 换元必换限 公式反用，可以不换元.若不换元，则不换限 不换元则不换限 ◆例3计算2 cos'xsin xdx ◆例4计算VSim3x-sinxdx 绝对值函数的定积分，注意分区间讨论

( )d [ ( )] ( )d b a f x x f t t t   =     换元公式可以反过来使用: [ ( )] ( )d ( )d b a f x x x f t t     =   ◆例3 公式反用,可以不换元. ⚫注 若不换元,则不换限. 换元必换限 不换元则不换限 ◆例4 绝对值函数的定积分,注意分区间讨论 π 2 5 0 cos sin d x x x 计算  π 3 5 0 sin sin d x x x −  计算

>重要结论 eqwa二/aeae 对称区间上奇偶函数的定积分 f-x)=-f)→fx)dr=0 ◆那计网++ ◆冲树山 ◆例 计sin'◆计到h 无穷区间上周期函数的定积分 fx)eC(-o,+∞)周期为T一7 a ["fax=fxd: ◆刷9计算mV1-sin2xdr◆例10计算∫1cos2xd

➢重要结论 对称区间上奇偶函数的定积分 0 ( )d 2 ( )d a a a f x x f x x − =   ( )d 0 a a f x x − =  ◆例5 ◆例6 无穷区间上周期函数的定积分 周期为T 0 ( )d ( )d a T T a a f x x f x x +  =   ◆例9 ◆例7 ◆例8 ◆例10 1 1 2 4 d 1 x x x x − + + 计算  2 2 2 | |d 2 x x x − x + + 计算  π 2 π 2 6 sin cos d x x x − 计算 1 2 1 2 1 cos ln d 1 x x x − x + − 计算  π 0 1 sin 2 d N − x x  计算 π 6 π 6 +50π cos 2 d x x 计算 

>综合题 不能用牛莱公式作出 ◆例12 f(x)∈CI0,1]证明 (④∫月f(sinx))dr=∫f(cosx)d (2)(sinx)dx-(sin )dx ③)计算 xsinx dx x≥0 ◆例13f(x)=了 计算∫fx-2)d -1<x<0 1+cosx

➢综合题 ◆例11 ◆例12 π π 2 2 0 0 f x x f x x (sin )d (cos )d =   证明 (1) π π 0 0 π (sin )d (sin )d 2 xf x x f x x =   (2) (3) 计算 π 2 0 sin d 1 cos x x x + x  ◆例13 2 0 ( ) 1 1 0 1 cos x xe x f x x x −    =   −    + 计算 4 1 f x x ( 2)d −  不能用牛莱公式作出 1 2 0 ln(1 ) d 1 x x x + + 计算 

定积分的换元法与分部积分法 换元法 二、分部积分法

定积分的换元法与分部积分法 一、换元法 二、分部积分法