《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程_第四节 可降阶的微分方程_可降阶的微分方程

第四讲可降阶的高阶微分方程

第四讲 可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程 一、ym=f(x) 型微分方程 二、y”=f(x,y)型微分方程 三、y”=fy,y型微分方程

可降阶的高阶微分方程 一、 型微分方程 二、 型微分方程 三、 型微分方程

可降阶的高阶微分方程 一、ym)=f(x) 型微分方程 二、y=f(x,y型微分方程 三、y”=f(y,y型微分方程

可降阶的高阶微分方程 一、 ( ) ( ) y f x n = 型微分方程 二、 型微分方程 三、 型微分方程

>解法 令z=y-D,则=ym=fw), d x z=∫f(ax)dx+C 即 y-》=j/(x)dr+C 同理可得yn-2)=[/(x)dx+C]dx+C2 =[[Jf()dx ]dx +Cx+C2 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解

令 , ( −1) = n z y d 1 z =  f (x) x +C 即 同理可得   2 ( 2) y dx C n = +  −  dx  = 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 +C x + ➢解法

>举例 ◆例1求微分方程y"=e2x-cosx的通解. ◆例2质量为的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动， 设力F=F()在开始时刻=O时F(0)=F,随着时间的 增大，力均匀地减小，直到=T时，F(D=0. 如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求这 质点的运动规律

➢举例 ◆例1 求微分方程 的通解. ◆例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动， 设力F=F (t)在开始时刻t=0时F (0)=F0 ,随着时间t的 增大，力F均匀地减小，直到t=T时，F(T)=0. 如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求这 质点的运动规律

可降阶的高阶微分方程 一、ym)=f(x) 型微分方程 二、y”=f(x,y型微分方程 三、y”=f(y,y型微分方程

可降阶的高阶微分方程 一、 ( ) ( ) y f x n = 型微分方程 二、 型微分方程 三、 型微分方程

可降阶的高阶微分方程 一、ym=fx) 型微分方程 二、y”=(x,)型微分方程 三、y”=f(y,y型微分方程

可降阶的高阶微分方程 一、 ( ) ( ) y f x n = 型微分方程 二、 y  = f (x, y ) 型微分方程 三、 型微分方程

>特点 不含有的项 >解法 y"=f(x,y） 设y=p(x),则y=p,↓ p'=f(x,P) 通解、 p=0(x,C1) →y'=p(x,C1) 再积分，得原方程通解y=∫p(x,C)dr+C2

设 y  = p(x) , 则 y  = p  , 通解 ( , ) C1 p = x ( , ) C1 y  = x 再积分, 得原方程通解 1 d 2 y =  (x,C ) x +C ➢解法 ➢特点 不含有y的项

>举例 ◆例3求微分方程(1+x2)y”=2y'满足初始条件 ylx0=1,y1x0=3的特解 ◆例4设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受 重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时是 怎样的曲线？ pgs

➢举例 ◆例3 求微分方程 满足初始条件 的特解. ◆例4 设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受 重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时是 怎样的曲线？ M  gs o y x T H A

可降阶的高阶微分方程 一、ym=f(x) 型微分方程 二、y=(x,y)型做分方程 三、y”=f(y,y型微分方程

可降阶的高阶微分方程 一、 ( ) ( ) y f x n = 型微分方程 二、 y  = f (x, y ) 型微分方程 三、 型微分方程