《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章定积分的应用_第二节 定积分在物理学中的应用_定积分在物理学中的应用

第二讲 定积分在物理学上的应用

第二讲 定积分在物理学上的应用

定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力

定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力

定积分在物理学上的应用 变力直线所作的功 二、水压力 三、引力

定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力

设物体在连续变力Fx)作用下沿x轴从x=a移动到x=b 力的方向与运动方向平行，求变力所做的功. 元素法： 积分变量：x积分区间：【4，b xx+dx 功元素： △W≈F(xdx=dW 所作的功： W三 微小的局部 “以不变代变” ◆例1在一个带+q电荷所产生的电场作用下，一个单位 位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a<), 求电场力所作的功. 分析：积分变量：r 积分区间：[4，b列 功元素： △W≈k9 dr +9 1+1 所求的功： W 9处的电场力 rr+dr

设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到x=b 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . a x b x x + d x  = b a W F(x)dx 元素法: 积分变量: x 积分区间: [a,b] 功元素: = dW 所作的功: 微小的局部 “以不变代变” 一个单位 求电场力所作的功 . 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , ◆例1在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, + q o a r r + dr b r +1 +1 分析: 积分变量: r 积分区间: [a,b] 功元素: 所求的功: r处的电场力

◆例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体， 由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S的活塞从点α 移动到点b(如图)，求移动过程中气体压力所作的功 分析：建立坐标系如图. 积分变量：x积分区间：[a,b] kk 在x处：p= o axx+dx h x xS 故作用在活 波义耳马略特 FD.S- 定律 功元素： dW Fdx -dx 所求的功：p=∫ka 在微小的局部 “以不变代变

o a b x 建立坐标系如图. xx + dx 功元素: 故作用在活塞上的力: 所求的功： 求移动过程中气体压力所作的功. 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点a 移动到点 b (如图), ◆例2 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体， 分析: 积分变量: x 积分区间: [a,b] 在x处： 波义耳-马略特 定律 在微小的局部 “以不变代变” S

◆例3一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？ 分析：建立坐标系如图. 积分变量：x积分区间：[0,5] [x,x+dx]上的一薄层水的重力： gpπ32dx 功元素：（这薄层水吸出桶外所作的功） dW=9πg pxdx 所求的功 : x215 W-fo 97gpxdx-9z Ep0 =112.5πgp(K）

o x 3m x x + d x 5m [x, x + dx] 上的一薄层水的重力： g  3 dx 2   dW= 9g  x dx 所求的功：  = 5 0 W 9 g x d x = 9 g  2 2 x =112.5 g  ( KJ ) 0 5 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? ◆例3 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 分析: 建立坐标系如图. 积分变量: x 积分区间: [0,5] 功元素（这薄层水吸出桶外所作的功） :

定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力

定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力

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定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力

设液体密度为p深为h处的压强：p=gPh 当平板与水面平行时， 平板一侧所受的压力为P=卫A 当平板不与水面平行时求平板所受侧压力 >例4一水平横放的半径为R的圆桶，内盛半桶密度为 p的液体，求桶的一个端面所受的侧压力 分析：建立坐标系如图. 半圆的方程：y=士/R2-x2(0≤x≤R) 积分变量：x积分区间：I0,R] 侧压力元素dP=2 gPxR2-x2dx X 端面所受侧压力 x+dx P=∫22-xd

设液体密度为  深为 h 处的压强: p = g  h h 当平板与水面平行时, P = p A 当平板不与水面平行时 求平板所受侧压力 平板一侧所受的压力为 ﹏﹏﹏  的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. ➢例4 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 o y R x x + d x 分析: 建立坐标系如图. 半圆的方程： (0  x  R) 积分变量: x 积分区间: [0,R] 侧压力元素 2 2 dP =2g  x R − x dx 端面所受侧压力  = R P 0 2g x R x dx 2 2  −

定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所作的功 二、 水压力 三、引力

定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力