《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第七章 微分方程_第七节 常系数非齐次线性微分方程_常系数非齐次线性微分方程

第七讲 常系数非齐次线性微分方程
第七讲 常系数非齐次线性微分方程

>思路 二阶常系数线性非齐次微分方程: y"+py'+qy=f(x) (p,q为常数) 通解:y=Y+y— 解的结构定理 齐次方程通解 非齐次方程特解 >关键求出非齐次方程的特解 >方法待定系数法 根据f(x)的特殊形式,给出特解y的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数
y + py + qy = f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : y = Y + y * 解的结构定理 齐次方程通解 非齐次方程特解 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法 ➢思路 通解: ➢关键 求出非齐次方程的特解 ➢方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 的待定形式

常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)=e2xPnm(x)型 二、f(x)=e2[P(x)coso,x+P(x)sin@x型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例
常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x Pl x x x ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n 三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f (x) e P (x) m x = 型

常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)=exPm(x)型 二、f(x)=e2IP(x)coso,x+P.(x)sin@x]型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例
常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x Pl x x x ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n 三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f (x) e P (x) m x = 型

f(x)=e2Pn(x)入为实数,Pm(x为m次多项式 入=0→f(x)=Pm(x) 多项式函数 m=0→f(x)=Ae2 :指数函数 其它→f(x)=exPm(x)片 指数函数与多项式函数乘积 >特解形式 入不是特征方程的根—→=0 y"=xC(x)ex 入是特征方程的单根→一1 (入是特征方程的重根一→-2 >解题步骤 设特解 写出f),明确入和m 写出特征方程,确定人 求特解代入方程,比较系数 列出等式,求出系数
为实数 , P (x) ( ) e ( ) m 为 m 次多项式 . x m f x P x = =0 ( ) ( ) m f x P x = 多项式函数 m =0 ( ) e x f x A = 指数函数 其它 ( ) e ( ) x 指数函数与多项式函数乘积 m f x P x = ➢特解形式 ( )e k x m y x Q x = 不是特征方程的根 k=0 是特征方程的单根 k=1 是特征方程的重根 k=2 ➢解题步骤 写出f(x),明确和m 写出特征方程,确定k 设特解 求特解 代入方程,比较系数 列出等式,求出系数

◆例1求方程y”-2y'-3y=3x+1的一个特解 解:f(x)=3x+1,入=0,m=1 对应的齐次方程的特征方程:2-2r一3=0, 入=0不是特征方程的根. 设所求特解为y*=b0x十b1, 代入方程得:-3bx-3b1-2b=3x+1 比较系数,得 「-3b0=3 -26,-6=1一6,=-1,4= 所求特解为y*=一x+3
◆例1 的一个特解. 解: 对应的齐次方程的特征方程: 设所求特解为 代入方程得: 比较系数, 得 3 1 1, b0 = − b1 = 所求特解为 不是特征方程的根 . f x x ( ) 3 1 , = + = 0 , m = 1

◆例2求方程y”-5y'+6y=xe2的通解 解:对应的齐次方程的特征方程2-5r+6=0, 特征根1=2,2=3 对应齐次方程的通解:Y=Ce2x+C,e3x f(x)=xe2,入=2,m=1入=2是特征方程的单根 设非齐次方程特解为y*=x(b,x+b)e2 代入方程得-2b0x-b1+2b0=x 比较系数,得了-2b0=1 2b0-b1=0 特解为*=x(-2x-1)e2x。 所求通解为y=Ce2+C,e3x-(3x2+x)e2
◆例2 5 6 0 , 2 r − r + = 特征根 对应齐次方程的通解: 设非齐次方程特解为 x y x b x b 2 0 1 * = ( + )e 比较系数, 得 , 1 2 1 b0 = − b1 = − 特解为 * ( 1)e . 2 2 1 x y = x − x − 代入方程得 − b x −b + b = x 2 0 1 2 0 所求通解为 ( )e . 2 2 2 1 x − x + x 解: 对应的齐次方程的特征方程: 2 ( ) e , x f x x = = 2, m = 1 = 2 是特征方程的单根 x y y y x 2 求方程 − 5 + 6 = e 的通解

◆例3求解定解问题 y"+3y"+2y'=1 y(0)=y'(0)=y"(0)=0 解:对应的齐次方程的特征方程:3+3r2+2r=0, 特征根1=0,2=-1,3=-2 对应齐次方程通解Y=C+C2ex+C3e2x f(x)=1,入=0,m=0入=0是特征方程的单根 设非齐次方程特解为y*=bx, 代入方程得2b=1,故y*=x, 原方程通解为 y=C+Cze-*+Csex+x
求解定解问题 = = = + + = (0) (0) (0) 0 3 2 1 y y y y y y 解: 特征根 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 对应齐次方程通解 Y = C1 x C − + e2 x C 2 3 e − + 原方程通解为 C1 y = x C − + e2 x C 2 3 e − + 对应的齐次方程的特征方程: f x( ) 1, = = 0, m = 0 = 0 是特征方程的单根 ◆例3

C1+C2+C3=0 C=- 由初始条件得 -C2-2C3=-为 C2=1 C2+4C3=0 C3=-% 于是所求解为 +e- 子-3+2x+4e*-e25)
于是所求解为 y x x x 2 1 e 4 1 e 4 3 2 = − + − + − − = − = = − 4 1 1 4 3 3 2 1 C C C 2 1 由初始条件得 −C2 − 2C3 = −

常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)=ePnm(x)型 二、f(x)=e2xID(x)cos@x+P.(x)sin@x]型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例
常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x Pl x x x ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n 三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f (x) e P (x) m x = 型
按次数下载不扣除下载券;
注册用户24小时内重复下载只扣除一次;
顺序:VIP每日次数-->可用次数-->下载券;
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第七章 微分方程_第六节 常系数齐次线性微分方程_常系数齐次线性微分方程.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第七章 微分方程_第五节 高阶线性微分方程_高阶线性微分方程.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第七章 微分方程_第四节 可降阶的微分方程_可降阶的微分方程.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第七章 微分方程_第三节 一阶微分方程习题课_一阶微分方程习题课.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第七章 微分方程_第二节 一阶线性微分方程_一阶线性微分方程.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第七章 微分方程_第一节 基本概念、可分离变量的微分方程及齐次方程_基本概念、可分离变量的方程及齐次方程.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第六章定积分的应用_第三节 定积分的应用习题课_定积分的应用习题课.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第六章定积分的应用_第二节 定积分在物理学中的应用_定积分在物理学中的应用.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第六章定积分的应用_第一节 元素法、定积分在几何上的应用_元素法、定积分在几何上的应用.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第五章 定积分_第五节 定积分习题课_定积分习题课.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第五章 定积分_第四节 反常积分_反常积分.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第五章 定积分_第三节 定积分的换元法与分部积分法_定积分的换元法与分部积分法.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第五章 定积分_第二节 微积分基本公式_微积分基本公式.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第五章 定积分_第一节 定积分的概念与性质_定积分的概念与性质.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第四章 不定积分_第五节 不定积分习题课_习题课.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第四章 不定积分_第四节 有理函数的不定积分_有理函数的不定积分.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第四章 不定积分_第三节 不定积分的分部积分法_分部积分法.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第四章 不定积分_第二节不定积分的换元法_不定积分的换元法.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第四章 不定积分_第一节 不定积分的概念与性质_不定积分的概念与性质.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第三章 微分中值定理与导数的应用_第九节 曲率_曲率.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第七章 微分方程_第八节 高阶微分方程习题课_高阶微分方程习题课.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第八章向量代数与空间解析几何_第一节 向量及其线性运算_向量及其线性运算.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第八章向量代数与空间解析几何_第二节 数量积与向量积_数量积与向量积.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第八章向量代数与空间解析几何_第三节向量代数习题课_向量代数习题课.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第八章向量代数与空间解析几何_第四节 平面及其方程_平面及其方程.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第八章向量代数与空间解析几何_第五节 空间直线及其方程_空间直线及其方程.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第八章向量代数与空间解析几何_第六节 曲面及其方程_曲面及其方程.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第八章向量代数与空间解析几何_第七节 空间曲线及其方程_曲线及其方程.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第八章向量代数与空间解析几何_第八节 空间解析几何习题课_空间解析几何习题课.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第九章 多元函数的微分法及其应用_第一节 多元函数的基本概念_多元函数的基本概念.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第九章 多元函数的微分法及其应用_第二节 偏导数_偏导数.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第九章 多元函数的微分法及其应用_第三节 全微分_全微分.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第九章 多元函数的微分法及其应用_第四节 多元函数极本概念习题课_习题课.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第九章 多元函数的微分法及其应用_第五节 多元函数的求导法则_多元函数的求导法则.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第九章 多元函数的微分法及其应用_第六节 隐函数的求导公式_隐函数的求导公式.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第九章 多元函数的微分法及其应用_第七节 多元函数微分法习题课_多元函数微分法习题课.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第九章 多元函数的微分法及其应用_第八节 多元函数微分法的几何应用_多元函数微分法的几何应用.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第九章 多元函数的微分法及其应用_第九节 方向导数与梯度_方向导数与梯度.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第九章 多元函数的微分法及其应用_第十节 多元函数的极值及其求法_多元函数的极值及其求法.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第九章 多元函数的微分法及其应用_第十一节 多元函数微分法的应用习题课_多元函数微分法的应用习题课.ppt