《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第3章 多维随机变量及其分布 第四节 相互独立的随机变量

概華论与款程统外 第四节相互独立的随机变量 一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广

一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 第四节 相互独立的随机变量

概车纶与款理统外 一、随机变量的相互独立性 1.定义 设F(x,y)及Fx(x),F,(y)分别是二维随机变量 (X,Y)的分布函数及边缘分布函数若对于所有x,y 有 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤xP{Y≤y以， 即 F(x,y)=Fx(x)Fy(y), 则称随机变量X和Y是相互独立的

. ( , ) ( ) ( ), { , } { } { }, ( , ) . , ( , ) ( ), ( ) 则称随机变量 和 是相互独立的 即 有 的分布函数及边缘分布函 数 若对于所有 设 及 分别是二维随机变量 X Y F x y F x F y P X x Y y P X x P Y y X Y x y F x y F x F y X Y X Y =   =   一、随机变量的相互独立性 1.定义

概率伦与款程统外 2.说明 ()若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P{X=i,Y=j}=p,i,j=1,2,. X和Y相互独立 PX=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=yj), 即p=P。·Pj

{ , } { } { }, i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y X 和Y 相互独立 2.说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{X = i,Y = j} = p , i, j = 1,2,  . ij . pij pi• p• j 即 = 

概车纶与款理统外 (2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),(y),则有 X和Y相互独立台f(化，y)=fx(x)f(y), (3)X和Y相互独立，则 f(X)和g(Y)也相互独立

 f (x, y) f (x) f ( y). = X Y (3) X 和Y 相互独立, 则 X 和Y 相互独立 边缘概率密度分别为 则有 设连续型随机变量 的联合概率密度为 ( , ), ( ), ( ), (2) ( , ) f x y f x f y X Y X Y f (X) 和 g(Y )也相互独立

概華论与款醒统外 例1已知(X,Y)的分布律为 1 2 3 X 1 6 9 18 1 2 3 a B ()求a与B应满足的条件； (2)若X与Y相互独立，求a与B的值

例1 已知 (X,Y )的分布律为 (2) , . (1) ; 若 与 相互独立 求 与 的值 求 与 应满足的条件     X Y 1 2 1 2 3 6 1 9 1 18 1 3 1   X Y

概華伦与散程统外 X 1 2 3 Pi=P(X=xi} 1 1 1 1 1 6 9 18 3 1 1 2 a B +a+B 3 P.j=P(Y=y} 12 2 9*a 8+B +a+B 3 0由分布律的性质知a≥MB≥0子+a+B=l 故a与应满足的条件是：a≥0，B≥0且a+B= 1 3

(1)由分布律的性质知   0,   0, 1, 3 2 + +  = . 3 1 故与应满足的条件是:  0,   0 且 +  = X Y 1 2 3 1 2 6 1 9 1 18 1 3 1   { } i i p = P X = x • 3 1 + +  3 1 { } j j p = P Y = y • 2 1 + 9 1 +  18 1 + +  3 2

概率伦与款理统外 (2)因为X与Y相互独立，所以有 P=P。·py9(i=1,2;j=1,2,3) 特别有 n=n→)g+a小a- 又a+B-3得B=号

=  , ( = 1,2; = 1,2,3) • • p p p i j ij i j 特别有 12 1• •2 p = p  p        = + 9 1 3 1 9 1 , 9 2   = 又 , 3 1  +  = . 9 1 得  = (2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有

棍率伦与散理统针」 例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为 3 Y2 4 Px 0.3 0.7 P 0.6 0.4 求随机变量(X,Y)的分布律. 解因为X与Y相互独立，所以 P(X=x,Y=y}=P(X=x}P(Y=yi). 因此(X,Y)的联合分布律为 4 1 0.18 0.12 3 0.42 0.28

解 因为X与Y 相互独立,所以 求随机变量 ( X, Y ) 的分布律. 例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为 X PX 1 3 0.3 0.7 Y PY 2 4 0.6 0.4 { , } { } { }. i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y 因此 (X,Y )的联合分布律为 Y X 2 4 1 3 0.18 0.12 0.42 0.28

概车纶与款理统外「 例3一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时， 设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达办 公室的时间相差不超过5分钟的概率. 解设X和Y分别是负责人和他的秘书到衫 达办公室的时间，由假设X和Y的概率密度分别为 f()= -化》 -0, 其它， 由于X,Y相互独立，得(X,Y)的概率密度为

例3 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率. 解 达办公室的时间, 设 X 和Y 分别是负责人和他的秘书到 由假设X 和Y的概率密度分别为      = 0, , 1 4, 8 12, ( ) 其它 x fX x      = 0, , 1 2, 7 9, ( ) 其它 x f y Y 由于 X,Y 相互独立, 得 (X,Y)的概率密度为

概车纶与款理统外 f(x,y)=fx(x)f(y) 1/8,8<x<12,7<y<9, 0, 其它 P{X-Y≤1/12 =J∬fx,y)dxdy 8×(G的面积. 8 12x

f (x, y) f (x) f ( y) = X Y        = 0, . 1 8, 8 12,7 9, 其它 x y P{ X −Y  1 12}  = G f (x, y)d xd y ( ). 8 1 =  G 的面积 O x y • 8 • 12 7 9 A B B C C G