《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第07章 参数估计 7.1 点估计

概率论与敖理统外 第一节 点估计 一、点估计问题的提法 二、估计量的求法 三、小结

第一节 点估计 一、点估计问题的提法 二、估计量的求法 三、小结

概率轮与数理统计「 一、点估计问题的提法 设总体X的分布函数形式已知，但它的一个 或多个参数为未知，借助于总体的一个样本来 估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题。 例1在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的 次数X是一个随机变量，假设它服从以2>0为参 数的泊松分布，参数为未知，设有以下的样本值 试估计参数2

一、点估计问题的提法 设总体X的分布函数形式已知, 但它的一个 或多个参数为未知, 借助于总体X的一个样本来 估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题. . , , , , 0 ,    试估计参数 数的泊松分布 参 数 为未知 设有以下的样本值 次 数 是一个随机变量 假设它服从以 为 参 在某炸药制造厂 一天中发生着火现象的 X  例1

概率论与赦理统计 着火次数k 012345 6 发生k次着 75905422621 ∑=250 火的天数n 解因为X~π(2)， 所以九=E(X). 用样本均值来估计总体的均值E) 6 r==0 6 rs 2500×75+1×90+2x54+3x2+ k=0 4×6+5×2+6×1]=1.22 故E(X)=2的估计为1.22

75 90 54 22 6 2 1 250 0 1 2 3 4 5 6   nk k k 火的天数 发 生 次 着 着火次数 解 因为 X ~ π(), 所以   E(X). 用样本均值来估计总体的均值 E(X)      6 0 6 0 k k k k n kn x 4 6 5 2 6 1] [0 75 1 90 2 54 3 22 250 1                1.22 故 E(X)   的估计为1.22

概率论与数理统外 点估计问题的一般提法 设总体X的分布函数F(x;0)的形式为已知， 0是待估参数X1,X2,X是X的一个样本， X1,x2,xn为相应的一个样本值 点估计问题就是要构造一个适当的统计量 0(X1,X2,Xn),用它的观察值0化1，x2,xn) 来估计未知参数0. X,X2,Xn)称为0的估计量 通称估计， 化，x2,xn)称为8的估计值了简记为0

点估计问题的一般提法 , . . 1 2 1 2 ( ; ) , , , , , , , n n X F x X X X X x x x   设总体 的分布函数 的形式为已知 是待估参数 是 的一个样本 为相应的一个样本值 ( ), ( ) . 1 2 1 2 ˆ ˆ , , , , , ,   X X X x x x n n  点估计问题就是要构造一个适当的统计量 用它的观察值 来估计未知参数 ( ) . 1 2 ˆ , , ,   X X X n 称为 的估计量 ( ) . 1 2 ˆ , , , n   x x x 称为 的估计值 . ˆ , 简记为 通称估计   

概率论与敖理统计 二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数，是随机变量，故 对不同的样本值，得到的参数值往往不同，求估 计量的问题是关键问题. 常用构造估计量的方法：（两种） 矩估计法和最大似然估计法

二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估 计量的问题是关键问题. 常用构造估计量的方法: (两种) 矩估计法和最大似然估计法

概率论与散理统外「 1.矩估计法 设X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x日，02，0)，或X为离散型随机变量， 其分布律为P{X=x}=p(x;0,02,8), 其中91,02，.，0为待估参数， 若X,X,Xn为来自X的样本， 假设总体X的前阶矩存在， 且均为日，0，.，0的函数即

1. 矩估计法 , , , 1 2 1 2 1 2 ( ; , , , ), { } ( ; , , , ), , , , k k k X f x X P X x p x            设 为连续型随机变量 其概率密度为 或 为离散型随机变量 其分布律为 其中 为待估参数 1 2 , , , 若X X X X n 为来自 的样本， 假设总体X的前k阶矩存在, , 1 2 , , , 且均为  k 的函数 即

概率论与敖理统外 因为样本矩4，=1上X依概率收敛于相应的 n i=i 总体矩4，(I=1,2,.,k), 如：样本的一阶距4=∑X=XpE(X)4 n i=1 样本的二阶距4,2XD>E(x)=4 i-1 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数

( 1, 2, , ), 1 1 n l l i i l A X n  l k    因为样本矩  依概率收敛于相应的 总体矩 的连续函数, 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 1 1 = 1 1 ( ) n p i i A X X E X n   如：样本的一阶距     = 2 2 2 2 1 1 ( ) n p i i A X E X n   样本的二阶距   

概率论与数理统外 矩估计法的定义 用样本矩来估计总体矩，用样本矩的连续函 数来估计总体矩的连续函数，这种估计法称为矩 估计法. 矩估计法的具体做法：令4=A,1=1,2,k 这是一个包含k个未知参数0,02，0的方程组， 解出其中0,02，0g 用方程组的解，0，.，6，分别作为日，02，.，0的 估计量，这个估计量称为矩估计量 矩估计量的观察值称为矩估计值

矩估计法的定义 用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函 数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩 估计法. 矩估计法的具体做法: , 1,2, , 令 l l   A l k 1 2 , , , , k 这是一个包含k个未知参数   的方程组 1 2 , , , . 解出其中  k , . 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ , , , , , , 用方程组的解      k k 分别作为 的 估计量 这个估计量称为矩估计量 矩估计量的观察值称为矩估计值

概率论与散理统计 例2 设总体X在0，]上服从均匀分布，其中0 (0>0)未知，(X1,X2,Xn)是来自总体X的样本， 求0的估计量 解因为4=E(X)=9, 报据短价计法，令号七 所以0=2又为所求0的估计量

, ,( , . 1 2 [0, ] ( 0) , , , ) n X X X X X      设总体 在 上服从均匀分布 其中 未知 是来自总体 的样本 求 的估计量 解 ( ) 因为 1  E X , 2   根据矩估计法, , 2 ˆ  A1  X  令 2 . 所以  ˆ  X 为所求的估计量 例2

概幸论与散理统外」 例3设总体X在a,b]上服从均匀分布，其中a, b未知，(X,X2,Xn)是来自总体X的样本，求， b的估计量 解4=E(X)=a+b 2 =E(X)=D(X)+E(X(a-)(a+b) 2 令g64之x n i=1 ,a=4-2x 12

, , ( , . 1 2 [ , ] , , , , ) , n X a b a b X X X X a b 设总体 在 上服从均匀分布 其中 未知 是来自总体 的样本 求 的估计量 解 ( ) 1  E X , 2 a  b  ( ) 2 2  E X     , 12 4 2 2 a b a  b    2  D(X) [E(X)] , 1 2 1 1     ni Xi n A a b 令 2 2 2 4 ( ) 12 ( ) A a b a b     , 1 1 2   ni Xi n 例 3