《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第04章 随机变量的数字特征 4.2 方差

概率论与敖理统外 第二节方差 一、随机变量方差的概念及性质 二、重要概率分布的方差 三、例题讲解 四、小结

一、随机变量方差的概念及性质 三、例题讲解 二、重要概率分布的方差 四、小结 第二节 方 差

概率论与数理统外】 一、随机变量方差的概念及性质 1.概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值分散程 度的量. 实例有两批灯泡，其平均寿命都是E)=1000小时 0 1000 ● 1000

1. 概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值分散程 度的量. 实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.  O x          O x          1000  1000 一、随机变量方差的概念及性质

概率论与敖理统计 2.方差的定义 设X是一个随机变量，若E{LX-E(X)}存在， 则称E{IX-E(X)]}为X的方差，记为D(X)或 Var(X),即 D(X)=Var(X)=EX-E(X). 称√D(X)为标准差或均方差，记为o(X)

( ) , ( ). ( ) Var( ) {[ ( )] }. Var( ), {[ ( ) ] } , ( ) , {[ ( )] } , 2 2 2 D X σ X D X X E X E X X E X E X X D X X E X E X 称 为标准差或均方差 记 为 即 则 称 为 的方差 记 为 或 设 是一个随机变量 若 存 在      2. 方差的定义

概率伦与散理统针」 3.方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量X取值分散 程度的量如果D)值大，表示X取值分散程度大， E)的代表性差；而如果D(X)值小，则表示X的 取值比较集中，以E()作为随机变量的代表性好

方差是一个常用来体现随机变量X取值分散 程度的量.如果D(X)值大, 表示X 取值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果D(X) 值小, 则表示X 的 取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好. 3. 方差的意义

概率论与散理统计 4.随机变量方差的计算 ()利用定义计算 离散型随机变量的方差 D(X)=I:-E(X)FP 其中P{X=x}=P,k=1,2,.是X的分布律 连续型随机变量的方差 D(X)=Ix-E(X)f(x)dx, 其中f(x)为X的概率密度

离散型随机变量的方差 ( ) [ ( )] , 1 2 k k k D X  x E X p     连续型随机变量的方差 ( ) [ ( )] ( )d , 2 D X x E X f x x      4. 随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算 其中 f (x)为X的概率密度. { } , 1,2, . 其中P X x p k X    k k 是 的分布律

概率论与散理统外「 (2)利用公式计算 D(X)=E(X2)=IE(X)2. 证明D(X)=EX-E(X)} =E{X2-2XE(X)+[E(X)2} =E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)I2 =E(X2)-[E(X)川2 =E(X2)-E2(X)

( ) ( ) [ ( )] . 2 2 D X  E X  E X 证明 ( ) {[ ( )] } 2 D X  E X  E X { 2 ( ) [ ( )] } 2 2  E X  XE X  E X 2 2  E(X )  2E(X)E(X)  [E(X)] 2 2  E(X ) [E(X)] (2) 利用公式计算 ( ) ( ). 2 2  E X  E X

概率论与敖理统计】 5.方差的性质 (1)设C是常数，则有D(C)=0. 证明D(C)=E(C2)-[E(C)=C2-C2=0. (2)设X是一个随机变量，C是常数，则有 D(CX)=C'D(X). 证明D(CX)=E{ICX-E(CX)2} =C2EX-E( =C'D(X)

证明 2 2 D(C)  E(C ) [E(C)] 5. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 D(C)  0. 2 2  C C  0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 ( ) ( ). 2 D CX  C D X 证明 D(CX) {[ ( )] } 2 2  C E X  E X ( ). 2  C D X {[ ( )] } 2  E CX  E CX

概率论与数理统外「 (3)设X,Y相互独立，D),D()存在，则 D(X±Y)=D(X)+D(Y). 证明 D(X±Y)=E{I(X±Y)-E(X±Y)} =EX-E(X)】±Y-E(Y)}2 =EIX-E(X)+E[Y-E(Y) ±2E{X-E(X)Y-E(Y)} =D(X)+D(Y)

D(X Y)  D(X)  D(Y). (3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 证明 ( ) {[( ) ( )] } 2 D X Y  E X Y  E X Y 2  E{[X  E(X)] [Y  E(Y)]} 2 {[ ( )][ ( )]} [ ( )] [ ( )] 2 2 E X E X Y E Y E X E X E Y E Y         D(X)  D(Y)

概率论与敖理统计 推广若X1,X2,Xn相互独立，则有 D(X±X2±.±Xn)=D(X)+D(X)++D(Xn) (4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数 C,即 P{X=C}=1

推广 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ). D X X X D X D X D X n n        若 X1 ,X2 ,  ,Xn 相互独立,则有 即 的充要条件是 以概率 取常数 , (4) ( ) 0 1 C D X  X P{X  C}  1

概率论与数理统针「 二、重要概率分布的方差 1.两点分布 已知随机变量X的分布律为 0 01-p 则有E(X)=1·p+0q=P, D(X)=E(X-E(X =12·p+02.9(1-p)-p2=pq

1. 两点分布 E(X)  1 p  0 q X p 1 0 p 1 p 已知随机变量 X 的分布律为 则有  p, 2 2 D(X)  E(X ) [E(X)] 2 2 2  1  p  0  9(1 p)  p  pq. p pq 二、重要概率分布的方差