《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第02章 随机变量及其分布 2.5 随机变量的函数的分布

概率论与敖理统计 第五节随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 三、小结

一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 三、小结 第五节 随机变量的函数的分布

概率论与数理统外 一、离散型随机变量的函数的分布 设f(x)是定义在随机变量X的一切可能值 x的集合上的函数，若随机变量Y随着X取值x 的值而取y=f(x)的值，则称随机变量Y为随机 变量X的函数，记作Y=f(X) 问题 如何根据已知的随机变量X的 分布求得随机变量Y=f(X)的分布？

, ( ). ( ) , , ( ) X Y f X y f x Y x Y X x f x X   变 量 的函数 记 作 的值而取 的 值 则称随机变量 为随机 的集合上的函数 若随机变量 随 着 取 值 设 是定义在随机变量 的一切可能值 问题 分布求得随机变量 ( )的分布? 如何根据已知的随机变量 的 Y f X X  一、离散型随机变量的函数的分布

概率论与敖理统计 例1设X的分布律为 X-1012 1111 卫p 4444 求Y=X2的分布律 解Y的可能值为(-1)2,02,12,22； 即0,1,4. PY=0}=PX2=0=P{X=0=4

Y 的可能值为 ( 1) , 0 , 1 , 2 ; 2 2 2 2  即 0, 1, 4. 解 { 0} { 0} { 0} 2 P Y   P X   P X  , 4 1  . 求 2 的分布律 设 的分布律为 Y X X  X p 1 0 1 2 4 1 4 1 4 1 4 1 例1

概率论与数理统外「 P{Y=1}=P{X2=1}=P{(X=-1)U(X=1)} 111 =P{X=-1}+P{X=1}=,+ 442 1 PY=4=PX2=4}=P{X=2= 014 故Y的分布律为 111 424 由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法

{ 1} { 1} {( 1) ( 1)} 2 P Y   P X   P X    X   P{X  1} P{X  1} , 2 1 4 1 4 1    { 4} { 4} { 2} 2 P Y   P X   P X  , 4 1  故 Y 的分布律为 Y p 0 1 4 4 1 2 1 4 1 由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法

概率论与散理统计 离散型随机变量的函数的分布 如果X是离散型随机变量其函数Y=g(X) 也是离散型随机变量若X的分布律为 X X1 x2 Xk Pk P P2 Pk 。 则Y=g(X)的分布律为 Y=g(X) 8(x) g(x2) . g(x). Pk P P2 Pk 若g(x)中有值相同的，应将相应的P.合并

离散型随机变量的函数的分布 也是离散型随机变量若 的分布律为 如 果 是离散型随机变量 其函数 X X Y g X . ,  ( ) X k p 1 2 k x x x 1 2 k p p p 则Y  g(X)的分布律为 k p Y  g(X) p p p 1 2 k 1 2 ( ) ( ) ( ) k g x g x g x 若 ( )中有值相同的,应将相应的 合并. g xk pk

概率论与数理统外「 -1 1 2 例2设 X 1 2 3 -6 -6 6 求Y=X-5的分布律 解Y的分布律为 -4 1 1 2 2

Y 的分布律为 Y p  4  1 2 1 2 1 X k p 1 1 2 6 1 6 2 6 3 例2 设 5 . 求Y  X 2  的分布律 解

概率论与赦理统外 二、连续型随机变量的函数的分布 例3 设随机变量X的概率密度为 x fx(x)= 0<x<4, 0, 其它 求随机变量Y=2X+8的概率密度 解第一步先求Y=2X+8的分布函数F,(y以 F,(Jy)=P{Y≤y}=P2X+8≤y}

第一步 先求Y=2X+8 的分布函数 F ( y). Y F ( y) P{Y y} Y    P{2X  8  y} 解 二、连续型随机变量的函数的分布 2 8 . 0, . , 0 4, ( ) 8 求随机变量 的概率密度 其 它 设随机变量 的概率密度为          Y X x x f x X X 例3

概率轮与教理统针」 =Px≤"-fax 第二步由分布函数求概率密度 fy(y)=F(y) Sx()dxr -8 =f2828, 当=2X48时，有y=2x+8→x=y-8 2

f ( y) F ( y) Y y   f x x y X ( )d 2 8    } 2 8 {    y P X ) , 2 8 )( 2 8 (     y y fX 第二步 由分布函数求概率密度. [ ( )d ] 2 8      f x x y X 当 Y=2X+8 时,有 y x   2 8 8 . 2 x y   

概率论与敖理统外 所以-' 8 2 0<y8<4, 2 0, 其它. y-8, 8<y<16, 32 0, 其它

           0, . 4, 2 8 , 0 2 1 ) 2 8 ( 8 1 ( ) 其 它 所 以 y y f y Y          0, . , 8 16, 32 8 其它 y y

概率论与散理统外 例4设随机变量X的概率密度为 x<0, xe,x≥0. 求随机变量Y=2X+3的概率密度. 解当-2X+3时，有y=2x+3→x=y-3 2 2 y- <0 2

2 3 0, 0, ( ) , 0. 2 3 . X x X x f x x e x Y X          设随机变量 的概率密度为 求随机变量 的概率密度 解 例4 当 Y=2X+3 时,有 y  2x  3 , 2  3   y x ( ) Y f y 3 2 ( ) 3 2 3 3 3 ( ) ( ) , 0, 2 2 2 3 0, 0. 2 y y y y e y                