《概率论与数理统计》课程教学课件（习题课，PPT）第四章 随机变量的数字特征

概華论与款醒硫外 第四章 随机变量的数字特征 习题课 一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题

一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题 第四章 随机变量的数字特征 习 题 课

概车纶与款理统外 一、重点与难点 1.重点 数学期望的性质和计算 方差的性质和计算 相关系数的性质和计算 2.难点 数字特征的计算

一、重点与难点 1.重点 数学期望的性质和计算 2.难点 数字特征的计算 方差的性质和计算 相关系数的性质和计算

概率伦与款理统外 二、主要内容 定义 方 计算 数学期望 差 性质 维随机变量的数学期望 离 定义 型 连续型 协方差与相关系数 协方差 的性质 随机变量函数的 数学期望 相关系数 定理

二、主要内容 数学期望 方差 离散型 连续型 性质 协方差与相关系数 二维随机变量的数学期望 定 义 计 算 性 质 随机变量函数的 数学期望 定 义 协方差 的性质 相关系数 定理

概车纶与款理统外 离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=Xx}=Pk,k=1,2,. 若级数∑xP:绝对收敛， k=1 则称级数∑P为随机变量X的数学期望， k=1 记为E(X),即E(X)=2xPs k

离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量X的分布律为 P{X = x } = p , k = 1,2,  . k k , 1 若级数  绝对收敛  k= xk pk , 1 则称级数 x p 为随机变量 X的数学期望 k  k k  = 记为 E(X), ( ) . 1   = = k 即 E X xk pk

概華论与款醒硫外 连续型随机变量的数学期望 X是连续型随机变量它的概率密度为f(), 若积分∫f(x)dr绝对收敛， 则称此积分值为连续型随机变量X的数学期望， 记为E(X), 即E(X)=∫rf(xl

连续型随机变量的数学期望 ( ), , ( ) d , E X X xf x x 记为 则称此积分值为连续型随机变量 的数学期望 若积分  绝对收敛 + − E(X) xf (x)dx.  + − 即 = X 是连续型随机变量,它的概率密度为f (x)

概车纶与款理统外 随机变量函数的数学期望 离散型随机变量函数的数学期望为 若Y=g(X),且P{X=x}=Pk,(k=1,2,.） 则有E(g(X)》=∑c)p k=1 若X是连续型的，它的分布密度为f(x), 则有E(g(X)=g(x)f(xix

随机变量函数的数学期望 离散型随机变量函数的数学期望为 Y = g(X), P{X = x } = p , (k = 1,2, ) 若 且 k k 则有 ( ( )) ( ) . 1   = = k E g X g xk pk E(g(X)) g(x) f (x)dx.  + − = 若 X 是连续型的,它的分布密度为f (x), 则有

概華论与款醒统外 数学期望的性质 1.设C是常数，则有E(C)=C. 2.设X是一个随机变量，C是常数，则有 E(CX)=CE(X). 3.设X,Y是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y). 4.设X,Y是相互独立的随机变量，则有 E(XY)=E(X)E(Y). U

数学期望的性质 1. 设C是常数, 则有 E(C) = C. 2. 设X是一个随机变量, C是常数, 则有 E(CX) = CE(X). 3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有 E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). 4. 设X, Y 是相互独立的随机变量, 则有 E(XY ) = E(X)E(Y )

概车纶与款理统外 二维随机变量的数学期望 设(X,Y)为二维随机变量，若E(X),E(Y)都 存在，则其期望值定义为 E2· (X,Y)的概率分布为P； E(X)= fx,y)d,(X,)的密度为fx,y 同理可得 TΣP,(X,的概率分布为P,: E(Y)= f(x,Jdd,(X,r的密度为(x

二维随机变量的数学期望      =    + − + − ( , )d d , , ( ) xf x y x y x p E X i j i ij 同理可得 存在 则其期望值定义为 设 为二维随机变量 若 都 , (X,Y ) , E(X), E(Y ) ( , ) ; X Y 的概率分布为pij (X,Y )的密度为f (x, y).      =    + − + − ( , )d d , , ( ) yf x y x y y p E Y i j i ij ( , ) ; X Y 的概率分布为pij (X,Y )的密度为f (x, y)

概车纶与款程统外 1.若X,Y为离散型随机变量g(x,y)是二元函数 则Eg(X,1=∑∑g(x,yP 当(X,Y)的联合概率分布为P 2.若X,Y为连续型随机变量g(x,y)是二元函数 EIg(X,Y=g(xy)f(x,y)dxdy, 当(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)

1.若 X,Y 为离散型随机变量, g(x, y)是二元函数, [ ( , )] =  ( , ) , i ij j E g X Y g xi y j p ( , ) . 当 X Y 的联合概率分布为pij E[g(X,Y )] g(x, y)f (x, y)dxdy,   + − + − = 则则 2.若 X,Y 为连续型随机变量, g(x, y)是二元函数, 当(X,Y)的联合分布密度为f (x, y)

概率伦与散理统针」 方差的定义 设X是一个随机变量若E{X-E(X)}存在， 则称E{[X-E(X)]2}是X的方差，记作 D(X)或Var(X), 即 D(X)=Var(X)=EX-E(X)), 称√D(X)为标准差或均方差，记为o(X)

方差的定义 ( ) , ( ). ( ) Var( ) {[ ( )] }, ( ) Var( ), {[ ( )] } , , {[ ( )] } , 2 2 2 D X X D X X E X E X D X X E X E X X X E X E X 称 为标准差或均方差 记 为 即 或 则 称 是 的方差 记 作 设 是一个随机变量 若 存 在 = = − − −