《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 随机变量的数字特征 4.4 矩、协方差矩阵

概车纶与款理统外 第四节矩、协方差矩阵 1.定义 设X和Y是随机变量，若E(X),k=1,2, 存在，称它为X的k阶原点矩简称k阶矩： 若E「X-E(X)1},k=2,3,·存在 称它为X的k阶中心矩

, , . , ( ), 1,2, X k 阶原点矩 k 阶 矩 X Y E X k k 存在 称它为 的 简称 设 和 是随机变量 若 =  . {[ ( )] }, 2,3, , X k 阶中心矩 E X E X k k 称它为 的 若 − = 存在 1.定义 第四节 矩、协方差矩阵

概華论与款醒统外 若 E(XkY),k,l=1,2,. 存在，称它为X和Y的k+I阶混合矩 EX-E(X Y-E(Y),k,l=1,2,. 存在，称它为X和Y的k+1阶混合中心矩

, . ( ), , 1,2, X Y k l阶混合矩 E X Y k l k l + = 存在 称它为 和 的 若  , . {[ ( )] [ ( )] }, , 1,2, X Y k l 阶混合中心矩 E X E X Y E Y k l k l + − − = 存在 称它为 和 的 若 

概车纶与款理统外 2.说明 ()以上数字特征都是随变量函数的数学期望 (2)随机变量X的数学期望E(X)是X的一阶原 点矩，方差为二阶中心矩，协方差Cov(X,Y)是X 与Y的二阶混合中心矩；

2. 说明 ; , , Cov( , ) (2) ( ) 与 的二阶混合中心矩 点矩 方差为二阶中心矩 协方差 是 随机变量 的数学期望 是 的一阶原 Y X Y X X E X X (1)以上数字特征都是随机变量函数的数学期望;

概華论与款醒硫外 (3)在实际应用中高于4阶的矩很少使用 三阶中心矩EIX-E(X)3}主要用来衡量随 机变量的分布是否有偏. 四阶中心矩E[X-E(X)]4)主要用来衡量随 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何

(3) 在实际应用中,高于4阶的矩很少使用. . {[ ( )] } 3 机变量的分布是否有偏 三阶中心矩E X − E X 主要用来衡量随 . {[ ( )] } 4 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何 四阶中心矩 E X − E X 主要用来衡量随

概车纶与款理统外 3.协方差矩阵 设n维随机变量(X1,X2,.,Xm)的二阶混合 中心矩 ci Cov(Xi,X )EIX;-E(Xi)IX;-E(X)] i,j=1,2,.,n 都存在，则称矩阵 C12 Cin C= C21 C22 C2n : Cn2 为n维随机变量的协方差矩阵

3. 协方差矩阵 中心矩 设 n 维随机变量(X1 , X2 ,, Xn )的二阶混合 , , 1,2, , Cov( , ) {[ ( )][ ( )] 都存在 i j n cij Xi X j E Xi E Xi X j E X j =  = = − − 则称矩阵               = n n nn n n c c c c c c c c c C       1 2 21 22 2 11 12 1 为 n 维随机变量的协方差矩阵

概率纶与款理统外 由于c=c(i,j=1,2,.,m),所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵 协方差矩阵的应用 协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究

. ( , 1,2, , ) , 阵为对称的非负定矩阵 由于 cij = c ji i j =  n 所以协方差矩 协方差矩阵的应用 协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究

概车纶与款理统外 以二维随机变量(X1,X2)为例. 协方差矩阵C= C12 C21 C22 D(X) cov(X,X2) cov(X2,X) D(X2)

( , ) . 以二维随机变量 X1 X2 为例 协方差矩阵         = 21 22 11 12 c c c c C         = cov( , ) ( ) ( ) cov( , ) 2 1 2 1 1 2 X X D X D X X X