《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 参数估计 7.4 区间估计

概率伦与款理统外 第四节 区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题

第四节 区间估计 一、区间估计的基本概念 二、典型例题

概车纶与款理统外 一、区间估计的基本概念 1.置信区间的定义 设总体X的分布函数F(x;O)含有一个未知参 数0，对于给定值a(0<a<1),若由样本X1,X2,., X,确定的两个统计量 日=(X1,X2,Xm)和0=0(X1,X2,Xm)满足 P{0X1,X2,Xn)<0<0(X1,X2,.,Xn)}=1-a, 则称随机区间8,0)是0的置信度为-a的置信区 间，&和分别称为置信度为-α的双侧置信区间 的置信下限和置信上限1-o为置信度

一、区间估计的基本概念 1. 置信区间的定义 { ( , , , ) ( , , , )} 1 , ( , , , ) ( , , , ) , (0 1), , , , ( ; ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2               = − = =   n n n n n P X X X X X X X X X X X X X X X X F x      和 满 足 确定的两个统计量 数 对于给定值 若由样本 设总体 的分布函数 含有一个未知参 , 1 . , 1 ( , ) 1 的置信下限和置信上限 为置信度 间 和 分别称为置信度为 的双侧置信区间 则称随机区间 是 的置信度为 的置信区         − − −

概華论与款醒硫外 关于定义的说明 被估计的参数虽然未知，但它是一个常数， 没有随机性，而区间(8，)是随机的. 因此定义中下表达式 P{X1,X2,.,Xn)<B<0(X1,X2,.,Xn)}=1- 的本质是： 随机区间(B,0)以1-a的概率包含着参数的真值， 而不能说参数以1-a的概率落入随机区间(2，B)

关于定义的说明 , ( , ) . , , 没有随机性 而区间 是随机的 被估计的参数 虽然未知 但它是一个常数    : { ( , , , ) ( , , , )} 1 1 2 1 2 的本质是 因此定义中下表达式 P  X X  Xn   X X  Xn = − 1 ( , ). ( , ) 1 ,         而不能说参数 以 的概率落入随机区间 随机区间 以 的概率包含着参数 的真值 − −

概车纶与款理统外 另外定义中的表达式 P{0(X1,X2,.,Xn)<B<0(X1,X2,X,)}=1-a 还可以描述为： 若反复抽样多次（各次得到的样本容量相等，都是） 每个样本值确定一个区间（但，0）， 每个这样的区间或包含B的真值或不包含0的真值， 按伯努利大数定理，在这样多的区间中， 包含真值的约占100(1-a)%,不包含的约占100a%

: { ( , , , ) ( , , , )} 1 1 2 1 2 还可以描述为 另外定义中的表达式 P  X X  Xn     X X  Xn = −  若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) 每个样本值确定一个区间( , ), 按伯努利大数定理, 在这样多的区间中, 包含真值的约占100(1−)%,不包含的约占100%. 每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值

概率伦与款醒统外 例如若a=0.01,反复抽样1000次 则得到的1000个区间中不包含0真值的约为10个

例如 若 = 0.01, 反复抽样1000次, 则得到的1000个区间中不包含 真值的约为10个

概车纶与款理统外 2.求置信区间的一般步骤（共3步） (①)寻求一个样本X1X2,.,Xn的函数： Z=Z(X1,X2,.,Xm;8) 其中仅包含待估参数0，并且Z的分布已知 且不依赖于任何未知数（包括0）. (2)对于给定的置信度1-a,定出两个常数m,b, 使P{a<Z(X1,X2,.,Xm;0)<b}=1-a

2. 求置信区间的一般步骤(共3步) ( ). , ( , , , ; ) (1) , , , : 1 2 1 2    且不依赖于任何未知参数 包 括 其中仅包含待估参数 并 且 的分布已知 寻求一个样本 的函数 Z Z Z X X X X X X n n   = { ( , , , ; ) } 1 . (2) 1 , , , 1 2      = − − P a Z X X X b a b 使  n 对于给定的置信度 定出两个常数

概车纶与款理统外 (3)若能从a<Z(X1,X2,.,Xn;0)<b得到等价的 不等式0<0<0，其中 0=Q(X1,X2,.,Xn), 0=0(X1,X2,.,Xn) 都是统计量，那么(0,0)就是0的一个置信度 为1-a的置信区间

1 . , ( , ) ( , , , ) ( , , , ), , (3) ( , , , ; ) 1 2 1 2 1 2 为 的置信区间 都是统计量 那么 就是 的一个置信度 不等式 其中 若能从 得到等价的             − = =     n n n X X X X X X a Z X X X b   

棍丰伦与散程统针」 二、典型例题 例1设X1,X2,.,Xn是来自正态总体N(山，o2) 的样本，其中σ2为已知，山为未知，求的置信水平 为1-a的置信区间. 解因为又是4的无偏估计， 且U=Y-'、N0,1, oIn 又-严~N(O,1是不依赖于任何未知参数的， oIn

解 1 . , , , , , , ( , ) 2 2 1 2 为 的置信区间 的样本 其中 为已知 为未知 求 的置信水平 设 是来自正态总体       − X X  Xn N 因为 X 是  的无偏估计, ~ (0,1), / N n X U  −  且 = ~ (0,1) , / N 是不依赖于任何未知参数的 n X  −  例1 二、典型例题

概華伦与款醒硫外 由标准正态分布的上a分位点的定义知 r#}1-a 即rX-7w<a<+aa-1a

1 , / / 2     = −        − z n X P 1 , / 2 / 2       = −       −   + z n z X n 即 P X 由标准正态分布的上 分位点的定义知

概车纶与款理统外「 于是得u的一个置信水平为1-的置信区间 x-n+ 这样的置信区间常写成 (± 其置信区间的长度为2×2

, . 1 / 2 / 2       − + −       z n z X n X 于是得 的一个置信水平为 的置信区间 这样的置信区间常写成 . / 2          z n X 其置信区间的长度为 2 .  / 2  z n 