《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 参数估计 7.1 点估计

概華伦与款程统外 第一节 点估计 一、点估计问题的提法 二、估计量的求法

第一节 点估计 一、点估计问题的提法 二、估计量的求法

概车纶与款理统外 一、点估计问题的提法 设总体X的分布函数形式已知，但它的 一个或多个参数为未知，借助于总体X的一 个样本来估计总体未知参数的值的问题称为 点估计问题

一、点估计问题的提法 设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的 一个或多个参数为未知, 借助于总体X 的一 个样本来估计总体未知参数的值的问题称为 点估计问题

概车纶与款理统外[ 例1在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的 次数X是一个随机变量，假设它服从以2>0为参 数的泊松分布，参数入为未知，设有以下的样本值， 试估计参数入. 着火次数k」0 123456 发生k次着 75905422621 ∑=250 火的天数n

. , , , , 0 ,    试估计参数 数的泊松分布 参 数 为未知 设有以下的样本值 次 数 是一个随机变量 假设它服从以 为 参 在某炸药制造厂 一天中发生着火现象的 X  例1 75 90 54 22 6 2 1 250 0 1 2 3 4 5 6  = nk k k 火的天数 发生 次着 着火次数

概车纶与款理统外「 着火次数k 0 123456 发生k次着 75905422621 ∑=250 火的天数n 解 因为X~π(2)， 所以九=E(X). 用样本均值来估计总体的均值EX). 6 k 灭= k=0 (0×75+1×90+2×54+3×22+ ∑ 250 = 4×6+5×2+6×1)=1.22. 故E(X)=2的估计为1.22

75 90 54 22 6 2 1 250 0 1 2 3 4 5 6  = nk k k 火的天数 发生 次着 着火次数 解 因为 X ~ π(), 所以  = E(X). 用样本均值来估计总体的均值 E(X).   = = = 6 0 6 0 k k k k n kn x 4 6 5 2 6 1) (0 75 1 90 2 54 3 22 250 1  +  +  =  +  +  +  + = 1.22. 故 E(X) =  的估计为1.22

概華伦与款程统外 点估计问题的一般提法 设总体X的分布函数F(x;O)的形式为已 知，B是待估参数X1,X2,.,Xn是X的一个样 本，x1,x2,.,xn为相应的一个样本值 点估计问题就是要构造一个适当的统计量 (X1,X2,.,Xm),用它的观察值(x1,x2,xn) 来估计未知参数0. (X1,X2,.,Xm)称为0的估计量.)通称估计， (x1,x2,xn)称为0的估计值.简记为日

点估计问题的一般提法 , , , , . , . , , , ( ; ) 1 2 1 2 本 为相应的一个样本值 知 是待估参数 是 的一个样 设总体 的分布函数 的形式为已 n n x x x X X X X X F x     . ( , , , ) ˆ ( , , , ), ˆ 1 2 1 2    来估计未知参数 用它的观察值 点估计问题就是要构造一个适当的统计量 X X  Xn x x  xn ( , , , ) . ˆ  X1 X2  Xn 称 为 的估计量 ( , , , ) . ˆ  x1 x2  xn 称 为 的估计值 . ˆ , 简记为 通称估计   

概车纶与款理统外 二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数，是随机变量，故 对不同的样本值，得到的参数值往往不同，如何 求估计量是关键问题. 常用构造估计量的方法：（两种） 矩估计法、最大似然估计法

二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 如何 求估计量是关键问题. 常用构造估计量的方法: (两种) 矩估计法、最大似然估计法

概率伦与款程统外 1.矩估计法 设X为连续型随机变量其概率密度为 f(x;0,O2,.,0)或X为离散型随机变量 其分布律为P{X=x}=p(x0,O2,.,84), 其中日1,02，.，0为待估参数， 若X1,X2,Xn为来自X的样本， 假设总体X的前k阶矩存在， 且均为01,02，.，0的函数，即

1. 矩估计法 , , , , { } ( ; , , , ), ( ; , , , ), , , 1 2 1 2 1 2 其 中 为待估参数 其分布律为 或 为离散型随机变量 设 为连续型随机变量其概率密度为 k k k P X x p x f x X X             = = 若X1 ,X2 ,  ,Xn为来自X 的样本， 假设总体X的前k阶矩存在, , , , , 且均为1  2   k 的函数 即

概车纶与款理统外 4=E(X)=∫mx'f(x;8,0,8)drX为连续型) 或4=E(X')=∑x'p(x;8,0,.,8),X为离散型) xERx 其中Rx是x可能取值的范围1=1,2，k 因为样本矩A=∑X依概率收敛于相应的 总体矩山(=1,2，k), 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的 总体矩的连续函数

E X x f x x k l l l ( ) ( ;1 , 2 ,, )d  + − = = (X为连续型) ( ) ( ; , , , ), 1 2 k x R l l l E X x p x X        或 = = (X为离散型) 其中RX 是x可能取值的范围, l = 1,2,  ,k ( 1, 2, , ), 1 1 l k X n A l n i l l i =  = = 总体矩  因为样本矩 依概率收敛于相应的 . 总体矩的连续函数 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的

概率伦与款程统外 矩估计法的定义 用样本矩来估计总体矩，用样本矩的连续 函数来估计总体矩的连续函数，这种估计法称 为矩估计法. 矩估计法的具体做法： 令4=A1,1=1,2,k 这是一个包含k个未知参数日，02，.，0的方程组 解出其中0,02，.，0k

矩估计法的定义 用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续 函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称 为矩估计法. 矩估计法的具体做法: A , l 1,2, ,k. 令 l = l =  , , , , 这是一个包含k个未知参数1  2   k的方程组 , , , . 解出其中1  2   k

概车纶与款理统外 用方程组的解，0，0分别作为日，日2，0的 估计量，这个估计量称为矩估计量， 矩估计量的观察值称为矩估计值

, . , , , ˆ , , ˆ , ˆ 1 2 1 2 估计量 这个估计量称为矩估计量 用方程组的解    k 分别作为    k 的 矩估计量的观察值称为矩估计值