《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 随机变量的数字特征 4.2 方差

概车纶与款理统外 第二节方差 一、随机变量方差的概念及性质 二、重要概率分布的方差 三、例题讲解

一、随机变量方差的概念及性质 三、例题讲解 二、重要概率分布的方差 第二节 方 差

概率纶与款理统外「 一、随机变量方差的概念及性质 1.概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值离散程度 的量 实例有两批灯泡，其平均寿命都是EX)=1000小时. 0● 0 1000 ● 1000

1. 概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值离散程度 的量. 实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时. • O x • • • • • • • • • O x • • • • • • • • • 1000 • 1000 一、随机变量方差的概念及性质

概率伦与散理统针」 2.方差的定义 设X是一个随机变量若E{LX-E(X)}存在， 则称E{X-E(X))为X的方差，记为D(X)或 Var(X),即. D(X)=Var(X)=EX-E(X)). 称√D(X)为标准差或均方差，记为σ(X)

( ) , ( ). ( ) Var( ) {[ ( )] }. Var( ), {[ ( ) ] } , ( ) , {[ ( )] } , 2 2 2 D X σ X D X X E X E X X E X E X X D X X E X E X 称 为标准差或均方差 记 为 即 则 称 为 的方差 记 为 或 设 是一个随机变量若 存 在 = = − − −  2. 方差的定义

概率伦与款理统外 3.方差的意义 方差体现随机变量X取值的离散程度. 如果D(0值大，表示X取值离散程度 大，E()的代表性差； 如果D()值小，则表示X的取值比较 集中，以E()作为随机变量的代表性好. 注：方差是一个无量纲的的量

方差体现随机变量 X 取值的离散程度. 注： 方差是一个无量纲的的量 3. 方差的意义 如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较 集中, 以 E(X) 作为随机变量的代表性好. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值离散程度 大, E(X) 的代表性差;

概车纶与款理统外 4.方差的计算 (1)利用定义计算 D(X)=EIX-E(X) 离散型随机变量的方差 DX)=∑Ix-E(X'P, k= 其中P{X=x}=Pk,k=1,2,是X的分布律 连续型随机变量的方差 D(X)=x-E(X)Pf(x)dx, 其中f(x)为X的概率密度

离散型随机变量的方差 ( ) [ ( )] , 1 2 k k D X  xk E X p + = = − 连续型随机变量的方差 ( ) [ ( )] ( )d , 2 D X x E X f x x  + − = − 4. 方差的计算 (1) 利用定义计算 其中 f (x)为X的概率密度. 其中P{X x } p , k 1,2, 是 X 的分布律. = k = k =  ( ) {[ ( )] } 2 D X = E X − E X

概華伦与款醒硫外 (2)利用公式计算 D(X)=E(X-E(X) D(X)=E(X2)-E(X)

( ) ( ) [ ( )] . 2 2 D X = E X − E X (2) 利用公式计算 ( ) {[ ( )] } 2 D X = E X − E X

概车纶与款理统外 5.方差的性质 (1)设C是常数，则有D(C)=0. (2)设X是一个随机变量，C是常数，则有 D(CX)=C'D(X). (3)设X,Y相互独立，D),D()存在，则 D(X±Y)=D(X)+D(Y): (4)D(ax+b)=a-D(X)

5. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 D(C) = 0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 ( ) ( ). 2 D CX = C D X D(X  Y ) = D(X) + D(Y ). (3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 (4) ( ) ( ). 2 D aX +b = a D X

概華论与款醒硫外 二、重要概率分布的方差 1.两点分布 已知随机变量X的分布律为 0 PP 1-P 则有E(X)=1·p+0·q=p, D(X)=E(X2)-[E(X)I2 =12·p+02(1-p)-p2=p1-p)

1. 两点分布 E(X) = 1 p + 0  q X p 1 0 p 1 − p 已知随机变量 X 的分布律为 则有 = p, 2 2 D(X) = E(X ) − [E(X)] 2 2 2 = 1  p + 0 (1 − p) − p p = p(1− p) 二、重要概率分布的方差

概车纶与款理统外 2.二项分布 设随机变量X服从参数为n,p二项分布， 其分布律为 X=刻=p0-pm=2n 则有 0<p<1. E(X)=np D(X)=p(1-p)

2. 二项分布 { } p (1 p) ,(k 0,1,2, ,n), k n P X k  k − n k =       = = − 则有 0  p  1. E(X) = np 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 D(X) = np(1− p)

概華论与款醒硫外 3.泊松分布 设X~π(2)，且分布律为 P(X=k)= ek=0.12,>0. 则有 =e.e2=2

3. 泊松分布 e , 0,1,2, , 0. ! { = } = =  −    k  k P X k k 则有   = − =  0 e ! ( ) k k k E X k     = − −  − = 1 1 ( 1)! e k k k      = e  e − = . 设 X ~ π(), 且分布律为