《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数

第三节 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 第三节 随机变量的分布函数

一、分布函数的概念 1.概念的引入 对于随机变量X,我们不仅要知道X取哪些值， 要知道X取这些值的概率；而且更重要的是想知 道X在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如求随机变量X落在区间(，x】内的概率. P{x1<X≤x,HPX≤xPX≤xl F(x2) F 分布函数 P(x]<X<x2}=F(x2)-F(x)

对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. { } P x1  X  x2 { } { } = P X  x2 − P X  x1 ( ) F x2 ( ) F x1 { } P x1  X  x2 分布函数 ( ) ( ). = F x2 − F x1  ? 一、分布函数的概念 例如 ( , ] . 求随机变量 X 落在区间 x1 x2 内的概率 1.概念的引入

2.分布函数的定义 定义设X是一个随机变量x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x 称为X的分布函数， 说明 ()分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. (2)分布函数F(x)是x的一个普通实函数

2.分布函数的定义 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. . ( ) { } , , 称 为 的分布函数 定 义 设 是一个随机变量 是任意实数函 数 X F x P X x X x =  (2)分布函数 F(x) 是 x 的一个普通实函数

实例 抛掷均匀硬币，令 1 出正面， X= 0, 出反面 求随机变量X的分布函数 解X的分布律为 pX=1=pK=0= 0 当x<0时， F(x)=P{X≤x<0}=0;

实例 抛掷均匀硬币, 令    = 0, . 1, , 出反面 出正面 X 求随机变量 X 的分布函数. p{X = 1} = p{X = 0} , 2 1 = • 0 • 1 x 当 x  0时, F(x) = P{X  x  0} = 0; 解 X 的分布律为

0 当0≤x<1时， Fw)=PX≤=PX=0}= 当x≥1时， F(x)=P{X≤x 0,x<0, =PX=HPK=I)得F9)=) 0≤x<1, 11 22-1. 1, x≥1

• 0 • 1 x 当 0  x  1时, F(x) = P{X  x}= P{X = 0} ; 2 1 = 当 x  1时, F(x) = P{X  x} = P{X = 0}+ P{X = 1} 2 1 2 1 = + = 1.            = 1, 1. , 0 1, 2 1 0, 0, ( ) x x x 得 F x

二、分布函数的性质 (1)0≤F(x)≤1，x∈(-o0,o);定义域，值域 (2)F(x1)≤F(x2),(x1<x2)； 单调不减函数 (3)F(-oo)=limF(x)=0, 极限 x→-00 F(+oo)=lim F(x)=1; x→+00 (4)1imF(x)=F(x),(-o<x<oo).右连续 x→x0

(1) 0  F(x)  1, x  (−,); (2) ( ) ( ), ( ); F x1  F x2 x1  x2 二、分布函数的性质 (3) (−) = lim ( ) = 0, →−  F F x x ( ) lim ( ) 1; x F F x →+ + = = (4) lim ( ) ( ), ( ). 0 0 0 = −     + → F x F x x x x 右连续 定义域，值域 单调不减函数 极限

重要公式 (I)P{X≤a=F(a) (2)Paa}=1-F(a)

重要公式 (3) { } P X a  = (1) { } P X a  = (2) { } P a X b =F a( ) F b F a ( ) ( ) − 1 ( ) − F a

三、例题讲解 例1将一枚硬币连掷三次，X表示“三次中正面 出现的次数”，求X的分布律及分布函数，并求下 列概率值P1<X<3},P{X≥5.5}，P{1<X≤3}. 解 设H-正面，T-反面，则 S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT X 0 1 2 3 因此分布律为 1 3 3 1 8 8 8 8

S = HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT, 因此分布律为 8 1 8 3 8 3 8 1 0 1 2 3 p X 解 则 三、例题讲解 {1 3}, { 5.5}, {1 3}. , , , P  X  P X  P  X  X X 列概率值 出现的次数”求 的分布律及分布函数 并求下 例1 将一枚硬币连掷三次 表示“三次中正面 设H − 正面, T −反面

求分布函数 0 3 1 3 p 8 8 8 当x<0时， F(x)=P{X≤x}=0; 当0≤x<1时， I=KS对PW=侧=A,=8 x:≤0 当1≤x<2时， F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1} xjSI

; 2 1 8 3 8 1 = + = 当 x  0时, 当0  x  1时, 求分布函数 F(x) = P{X  x} F(x) = P{X  x}= P{X = 0} ; 8 1 0 =  = xi  pi F(x) = P{X  x}   = xi 1 pi = P{X = 0}+ P{X = 1} = 0; 当1  x  2时, 8 1 8 3 8 3 8 1 0 1 2 3 p X

3 3 当2≤xp 1.3.37 x:≤2 88881 当x≥3时， F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1} +P{X=2+P{X=3} =∑p,=1. x≤3

当 2  x  3时, ; 8 7 8 3 8 3 8 1 = + + = 当 x  3时, F(x) = P{X  x} F(x) = P{X  x}   = xi 2 pi = P{X = 0} + P{X = 1}+ P{X = 2}  = 1.  = 3 i x i p = P{X = 0}+ P{X = 1} + P{X = 2}+ P{X = 3} 8 1 8 3 8 3 8 1 0 1 2 3 p X