《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）1-5 条件概率

第五节 条件概率 一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结

一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结 第五节 条件概率

一、条件概率 1.引例将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反 两面的情况，设事件A为“至少有一次为正面”， 事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事 件A已经发生的条件下事件B发生的概率. 分析设A为正面，为仗面T}. A-HH.HT,TH,B=(HHTT P(B)-4=2 21 事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，记为 1_1V4=P(AB)≠P(B) PBAI,则P(BA0=3=34 P(A)

将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反 两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面” , 事件B为“两次掷出同一面” . 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 分析 S  { HH, HT,TH,TT }. . 2 1 4 2 P(B)   事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 P(BA), 3 1 则 P(B A)   P(B). 3 4 1 4  ( ) ( ) P A P AB  设 H 为正面, T 为反面. 1. 引例 一 、条件概率 A  {HH,HT,TH}, B  {HH,TT}

2.定义 设A,B是两个事件，且P(A)>0,称 P(BA)= P(AB) P(A) 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率. 同理可得 P(AB)= P(AB) P(B) 为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率

( ) ( ) ( ) P B P AB 同理可得 P AB  为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率. . ( ) ( ) ( ) , , ( ) 0, 为在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率 设 是两个事件 且 称 A B P A P AB P B A A B P A   2. 定义

3.性质 (1)非负性：P(BA≥0； (2)规范性：P(SB)=1,P(☑B)=0; (3P(AU4 B)=P(AB)+P(4B-P(44B); (4)P(AB)=1-P(AB). (5)可列可加性：设B,B2,.是两两不相容的事 件，则有 但R-2P4

(3) ( ) ( ) ( ) ( ); P A1 A2 B  P A1B  P A2 B  P A1A2 B (4) P(AB)  1  P(AB). (2)规范性 : P(S B)  1, P( B)  0; 件 则有 可列可加性 设 是两两不相容的事 , (5) : , , B1 B2  ( ). 1 1            i i i P Bi A P B A 3. 性质 (1)非负性 : P(B A)  0;

二 乘法定理 设P(A)>0,则有P(AB)=P(BA)P(A). 设A,B,C为事件，且P(AB)>0,则有 P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A). 推广设A1,A2,An为n个事件，n22, 且P(AA,.An-)>0,则有 P(A1A2.An)=P(AnA1A2.An-1)× P(An-1A1A2.An-2)×.×P(A2A1)P(A1):

( ) ( ) ( ). ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 P A A A A P A A P A P A A A P A A A A n n n n n            且 P(A1A2A n1 )  0, 则有 , , , , 2, 推广 设 A1 A2  An 为 n 个事件 n  设 A,B,C 为事件,且 P(AB)  0, 则有 P(ABC)  P(C AB)P(B A)P(A). 设 P(A)  0, 则有 P(AB)  P(B A)P(A). 二、 乘法定理

例1一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只 二等品.从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽 样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B 为“第二次取到的是一等品”.试求条件概率 P解4将产品编号，1,2,3为一等品；4号为二等品. 以（⑦，）表示第一次、第二次分别取到第i号、第 号产品，则试验的样本空间为 S={1,2)(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),., (4,1),(4,2),(4,3)}

例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽 样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率 P(解B|A).将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 . 号产品 则试验的样本空间为 以 表示第一次、第二次分 别取到第 号、第 , ( , ) j i j i (4,1), (4,2), (4,3)}, S  {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) ,

A={1,2),(1,3), (1,4),(2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)}, AB={1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}, 由条件概率的公式得 P(BA)= P(AB) P(A) 6/122 9/12 3

(3,1), (3,2), (3,4)}, A  {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), AB  {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}, 由条件概率的公式得 ( ) ( ) ( ) P A P AB P B A  9 12 6 12  . 3 2 

例2某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8,活到25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个 20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 多少？ 解设A表示“能活20岁以上”的事件， B表示“能活25岁以上”的事件， 则有 P(BA)= P(AB) P(A) 因为P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(AB)=P(B), 所以P(BA)= P(AB)0.41 P(A) 0.821

例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有 因为 P(A)  0.8, . ( ) ( ) ( ) P A P AB P B A  P(B)  0.4, P(AB)  P(B), . 2 1 0.8 0.4   ( ) ( ) ( ) P A P AB 所以 P B A  解

抓阄是否与次序有关？ 例3五个阄，其中两个阄内写着“有” 字，三个阄内不写字，五人依次抓取， 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同 解设A表示“第i人抓到有字阄”的事件， i=1,2,3,4,5. 则有P(4)=5 P(A)=P(AS)=P(A(AUA))

例3 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字， 三个阄内不写字 ，五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同? 解 i 1,2,3,4,5. 则有 , 5 2 ( ) P A1  ( ) ( ) P A2  P A2S ( ( ))  P A2  A1  A1 抓阄是否与次序有关? 设 A 表示“第 i 人抓到有字阄”的事件 , i

=P(A40A4)=P(AA)+P(A4) =P(A)P(A4)+P(A)P(A,A) 21322 X三 5454=5 P(A)=P(AS)=P(A(AA0AA0AA)) =P(AA4)+P(A4A)+P(A A4)

( ) ( ) ( ( )) P A3  P A3S  P A3 A1 A2  A1A2  A1 A2 ( ) ( ) ( )  P A1 A2A3  P A1A2A3  P A1 A2A3 4 2 5 3 4 1 5 2     , 5 2  ( ) ( ) ( ) ( )  P A1 P A2 A1  P A1 P A2 A1 ( )  P A1A2 A1A2 ( ) ( )  P A1A2  P A1A2