《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）4-2 方差

第二节方差 一、随机变量方差的概念及性质 二、重要概率分布的方差 三、例题讲解 四、小结

一、随机变量方差的概念及性质 三、例题讲解 二、重要概率分布的方差 四、小结 第二节 方 差

一、随机变量方差的概念及性质 1.概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值分散程 度的量. 实例有两批灯泡，其平均寿命都是E)=1000小时. 1000 ● 1000

1. 概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值分散程 度的量. 实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时. • O x • • • • • • • • • O x • • • • • • • • • 1000 • 1000 一、随机变量方差的概念及性质

2.方差的定义 设X是一个随机变量若E[X-E(X)川)存在， 则称E{IX-E(X)]}为X的方差，记为D(X)或 Var(X),即. D(X)=Var(X)=E[X-E(X). 称√D(X)为标准差或均方差，记为σ(X)

( ) , ( ). ( ) Var( ) {[ ( )] }. Var( ), {[ ( ) ] } , ( ) , {[ ( )] } , 2 2 2 D X σ X D X X E X E X X E X E X X D X X E X E X 称 为标准差或均方差 记 为 即 则 称 为 的方差 记 为 或 设 是一个随机变量若 存 在 = = − − −  2. 方差的定义

3.方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量X取值分 散程度的量.如果D)值大，表示X取值分散 程度大，E)的代表性差；而如果D()值小，则 表示X的取值比较集中，以E)作为随机变量 的代表性好

方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分 散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散 程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则 表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量 的代表性好. 3. 方差的意义

4.随机变量方差的计算 ()利用定义计算 离散型随机变量的方差 D(X)=∑Ix-E(Xp4, 其中P{X=x}=Pk,k=1,2,是X的分布律 连续型随机变量的方差 D(X)=x-E(X)Pf(x)dx, 其中f(x)为X的概率密度

离散型随机变量的方差 ( ) [ ( )] , 1 2 k k D X  xk E X p + = = − 连续型随机变量的方差 ( ) [ ( )] ( )d , 2 D X x E X f x x  + − = − 4. 随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算 其中 f (x)为X的概率密度. 其中P{X x } p , k 1,2, 是 X 的分布律. = k = k = 

(2)利用公式计算 D(X)=E(X2)-IE(X)2. 证明D(X)=E{X-E(X)} =E{X2-2XE(X)+[E(X)2} =E(X)-2E(X)E(X)+[E(X)I2 =E(X2)-[E(X)2 =E(X2)-E2(X)

( ) ( ) [ ( )] . 2 2 D X = E X − E X 证明 ( ) {[ ( )] } 2 D X = E X − E X { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 = E X − XE X + E X 2 2 = E(X ) − 2E(X)E(X) + [E(X)] 2 2 = E(X ) − [E(X)] (2) 利用公式计算 ( ) ( ). 2 2 = E X − E X

5.方差的性质 (1)设C是常数，则有D(C)=0. 证明D(C)=E(C2)-[E(C)]2=C2-C2=0. (2)设X是一个随机变量，C是常数，则有 D(CX)=C'D(X). 证明 D(CX)=ECX-E(CX) =C2EX-E( =C'D(X)

证明 2 2 D(C) = E(C ) − [E(C)] 5. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 D(C) = 0. 2 2 = C −C = 0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 ( ) ( ). 2 D CX = C D X 证明 D(CX ) {[ ( )] } 2 2 = C E X − E X ( ). 2 = C D X {[ ( )] } 2 = E CX − E CX

3)设X,Y相互独立，D),D()存在，则 D(X±Y)=D(X)+D(Y). 证明 D(X±Y)=E{[(X±Y)-EX±Y)I} =EX-E(X)】±[Y-E(Y)}2 =EIX-E(X)+E[Y-E(Y) ±2E{X-E(X)[Y-E(Y)M =D(X+D(Y):

D(X  Y ) = D(X) + D(Y ). (3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 证明 ( ) {[( ) ( )] } 2 D X  Y = E X  Y − E X  Y 2 = E{[X − E(X)] [Y − E(Y )]} 2 {[ ( )][ ( )]} [ ( )] [ ( )] 2 2 E X E X Y E Y E X E X E Y E Y  − − = − + − = D(X) + D(Y )

推广若X1,X2,Xn相互独立，则有 D(X1±X2±.±X,n)=D(X)+D(X2)+.+D(Xn) (4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数 C,即 P{X=C}=1

推广 ( ) ( ) ( ) ( ). D X1  X2  Xn = D X1 + D X2 ++ D Xn 若 X1 ,X2 ,  ,Xn 相互独立,则有 即 的充要条件是 以概率 取常数 , (4) ( ) 0 1 C D X = X P{X = C} = 1

二、重要概率分布的方差 1.两点分布 已知随机变量X的分布律为 X p 1-p 则有 E(X)=1·p+0q=p, D(X)=E(X-E(X) =12.p+02.(1-p)-p2=p9

1. 两点分布 E(X) = 1 p + 0  q X p 1 0 p 1 − p 已知随机变量 X 的分布律为 则有 = p, 2 2 D(X) = E(X ) − [E(X)] 2 2 2 = 1  p + 0 (1 − p) − p = pq. p pq 二、重要概率分布的方差