《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）3-3 条件分布

第三节 条件分布 一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布 三、小结

一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布 三、小结 第三节 条件分布

、 离散型随机变量的条件分 布 考虑一大群人，从其中随机挑选一个人，分别 用X和Y记此人的体重和身高，则X和Y都是随 机变量，他们都有自己的分布. 现在如果限制Y 取值从1.5m到1.6m, 在这个限制下求X的 分布

问题 一、离散型随机变量的条件分 布 , . , , , 机变量 他们都有自己的分布 用 和 记此人的体重和身高 则 和 都是随 考虑一大群人 从其中随机挑选一个人 分别 X Y X Y . 1.5m 1.6m, 分布 在这个限制下求 的 取值从 到 现在如果限制 X Y

定义设(X,Y)是二维离散型随机变量对于固定 的，若PY=y}>0,则称 P(X=xY=y)- P(X=xi,Y=yj}Pi PY=yi P.j 为在Y=y条件下随机变量X的条件分布律 对于固定的i,若P{X=x}>0,则称 P Y=X=PX呼 P(X=x 卫o 为在X=x,条件下随机变量Y的条件分布律 其中i,j=1,2

. , { } { , } { } , { } 0, ( , ) , 为 在 条件下随机变量 的条件分布律 的 若 则 称 设 是二维离散型随机变量对于固定 Y y X p p P Y y P X x Y y P X x Y y j P Y y X Y j j ij j i j i j j = = = = = = = = =  • . , { } { , } { } , { } 0, 为 在 条件下随机变量 的条件分布律 对于固定的 若 则 称 X x Y p p P X x P X x Y y P Y y X x i P X x i i ij i i j j i i = = = = = = = = =  • 其中i, j = 1,2,  . 定义

例1在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是 由机器人完成的.其一是紧固3只螺栓，其二是 焊接2处焊点.以X表示螺栓紧固得不良的数 目，以Y表示焊点焊接得不良的数目.据积累的 资料知(X,Y)具有分布律： X 0 1 2 3 P(Y=j 0 0.840 0.030 0.020 0.010 0.900 1 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080 2 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020 P(X=i 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000

X Y 0 1 2 3 0.840 0.030 0.020 0.010 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 1 0 0.900 0.080 0.020 P{X = i} 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000 P{Y = j} ( , ) : , . 2 . . 3 , , 资料知 具有分布律 目 以 表示焊点焊接得不良的数目 据积累的 焊接 处焊点 以 表示螺栓紧固得不良的数 由机器人完成的 其一是紧固 只螺栓 其二是 在一汽车工厂中 一辆汽车有两道工序是 X Y Y X 例1

()求在X=1的条件下，Y的条件分布律； (2)求在Y=0的条件下，X的条件分布律： 解 由上述分布律的表格可得 PY=0X=1}=PX=L,Y=0; 0.030 PX=1} 0.045 PP=1X=1}= P{X=1,Y=1_0.010 PX=1} 0.045 P(Y-2X-D-P(X=LY=23_ .005 P{X=1} 0.045

(2) 0 , . (1) 1 , ; 求在 的条件下 的条件分布律 求在 的条件下 的条件分布律 Y X X Y = = 解 { 1} { 1, 0} { 0 1} = = = = = = P X P X Y P Y X , 0.045 0.030 = { 1} { 1, 1} { 1 1} = = = = = = P X P X Y P Y X , 0.045 0.010 = { 1} { 1, 2} { 2 1} = = = = = = P X P X Y P Y X , 0.045 0.005 = 由上述分布律的表格可得

即在X=1的条件下，Y的条件分布律为 Y=k 6 P(Y=kX=1) -9 9 同理可得在Y=0的条件下，X的条件分布律为 X=k 0 1 2 3 8 3 2 1 P(X=kY=0) 90 90 90 90

即在 X = 1的条件下,Y 的条件分布律为 Y = k P{Y = k X = 1} 0 1 2 9 1 9 2 9 6 同理可得在Y = 0的条件下,X 的条件分布律为 X = k P{X = kY = 0} 0 1 2 3 90 1 90 2 90 3 90 84

例 2一射手进行射击，击中目标的概率为p(0<p<1) 射击到击中目标两次为止.设以X表示首次击中目 标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的的射击 次数.试求X和Y的联合分布律及条件分布律， 解由题意知X取m且Y取n时，有 P{X=m,Y=n}=pp(I-p)(1-p).(1-p) 即得X和Y的联合分布律为 (n-2)个 PiX =m,Y=n=p'g"-, 其中q=1-p,n=2,3,.;m=1,2,.,n-1

例2 一射手进行射击,击中目标的概率为p(0<p<1), 射击到击中目标两次为止.设以X 表示首次击中目 标所进行的射击次数, 以Y 表示总共进行的的射击 次数.试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律. 解 由题意知 X 取 m 且Y 取 n时,有 P{X = m,Y = n} = p  p (1 − p)(1− p)(1− p) (n − 2)个 即得 X 和Y 的联合分布律为 { , } , 2 −2 = = = n P X m Y n p q 其中q = 1 − p, n = 2,3, ; m = 1,2,  ,n − 1

现在求条件分布律. P(X=mY=n,P(Y=nX=m, 由于PX=m=∑PK=m,==∑pq2 1= n=m+1 =m+l Γ1-q PY=m=∑PX=m,y=m m=1,2,., p4=u-0pig3n=23 m=

现在求条件分布律． 由于   = + = = = = 1 { } { , } n m P X m P X m Y n   = + − = 1 2 2 n m n p q   = + − = 1 2 2 n m n p q q p q m − = − 1 2 1 , −1 = m pq m = 1,2,  ,  − = = = = = 1 1 { } { , } n m P Y n P X m Y n  − = − = 1 1 2 2 n m n p q ( 1) , 2 −2 = − n n p q n = 2,3,  . P{X = mY = n}, P{Y = n X = m}

所以当n=2,3,.时， P(X=mY=m -P(X=m.Y=n P(Y=n) p2q"-2 1 (n-Dp=n-I 当m=1,2,n-1时， PY=WX=mg=PX=m,Y=砂 PX=m =pq"-2 pg-i=pgm-i, n=m+1,m+2

所以当 n = 2,3,  时, 2 2 2 2 ( 1) − − − = n n n p q p q { } { , } P Y n P X m Y n = = = = , 1 1 − = n 当 m = 1,2,  ,n − 1时, { } { , } P X m P X m Y n = = = = 1 2 2 − − = m n p q p q , − −1 = n m pq n = m + 1,m + 2,  . P{X = mY = n} P{Y = n X = m}

、连续型随机变量的条件分 布 定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(K,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为(y)若 对于固定的，f0)>0,则称比》 为在Y=y fy(r) 的条件下X的条件概率密度记为 ,(x)=I(xy) fy(y)

定义 二、连续型随机变量的条件分 布 . ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) , ( ) 0, ( , ),( , ) ( ). ( , ) f y f x y f x y X Y y f y f x y y f y f x y X Y Y f y X Y Y Y Y Y X Y =  = 的条件下 的条件概率密度记 为 对于固定的 则 称 为 在 关 于 的边缘概率密度为 若 设二维随机变量 的概率密度为