《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）4-1 数学期望

第一节 数学期望 一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、随机变量函数的数学期望 四、小结

一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、随机变量函数的数学期望 四、小结 第一节 数学期望

一、数学期望的概念 引例1分赌本问题产生背景) A,B两人赌技相同，各出 赌金100元，并约定先胜三局者为 胜，取得全部200元.由于出现意 外情况，在A胜2局B胜1局时， 不得不终止赌博，如果要分赌金， 该如何分配才算公平？

引例1 分赌本问题(产生背景) A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平? 一、数学期望的概念

分析假设继续赌两局，则结果有以下四种情况： AA AB BA BB A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果 相结合，即A、B赌完五局， 前三局：A胜2局B胜1局 后二局： AA AB BA BB A胜 B胜

前三局: A 胜 2 局 B 胜 1 局 后二局: 把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果 相结合,即 A、B 赌完五局, A A A B B A B B A 胜 B 胜 分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: A A A B B A B B A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负 B胜A负

故有，在赌技相同的情况下，A,B最终获胜的 可能性大小之比为3：1， 即A应获得赌金的 而B只能获得赌金的4 因此，A能“期望”得到的数目应为 20×3+0×1=150(元. 4 4 而B能“期望”得到的数目，则为 2m×+0×子-5元 3 4

因此, A 能“期望”得到的数目应为 4 1 0 4 3 200 +  = 150(元), 而B 能“期望”得到的数目, 则为 4 3 0 4 1 200 +  = 50(元). 故有, 在赌技相同的情况下, A, B 最终获胜的 可能性大小之比为 3 :1, 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 3 . 4 1

若设随机变量X为：在A胜2局B胜1局的前提 下，继续赌下去A最终所得的赌金. 则X所取可能值为： 200 3 1 其概率分别为： 4 4 因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值， 3 等于200×+0×，=150（元）， 4 4 即为 X的可能值与其概率之积的累加

因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 X 的可能值与其概率之积的累加. 150( ). 4 1 0 4 3 200 +  = 元 即为 若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金. 则X 所取可能值为: 200 0 其概率分别为: 4 3 4 1

引例2射击问题 设某射击手在同样的条 件下，瞄准靶子相继射击90次， (命中的环数是一个随机变量) 射中次数记录如下 命中环数k 0 2 3 4 5 命中次数ng 2 13 1510 20 30 频率 2 13 15 10 20 30 n 90 90 90 90 90 90 试问：该射手每次射击平均命中靶多少环？

设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 引例2 射击问题 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环? 0 1 2 3 4 5 2 13 15 10 20 30 90 15 90 13 90 2 90 20 90 10 90 30 命中环数 k 命中次数 频率 nk n nk

平均射中环数= 射中靶的总环数 解 射击次数 0×2+1×13+2×15+3×10+4×20+5×30 90 2 13 、15 10 20 =0× +1× +2× +3×0+4× 90 90 90 90 90 30 +5x 90 5 =3.37. k=0 设射手命中的环数为随机变量Y

解 平均射中环数 射击次数 射中靶的总环数 = 90 0 2 + 113 + 215 + 310 + 4 20 + 5 30 = 90 30 5 90 20 4 90 10 3 90 15 2 90 13 1 90 2 0 +  =  +  +  +  +   = 3.37. = =  5 k 0 k n n k 设射手命中的环数为随机变量 Y

平均射中环数 k k=0 一随机波动 频率随机波动 “平均射中环数”的稳定值？ ∑k ∑kP k=0 k=0 随机波动 稳定值 “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加

= =  5 k 0 k n n 平均射中环数 k 频率随机波动 随机波动 =  5 k 0 k n n k n → =  5 k 0 k pk 随机波动 稳定值 “平均射中环数”的稳定值 = ? “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加

1.离散型随机变量的数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为 P{X=Xk}=Pk,k=1,2,. 00 00 若级数∑xP.绝对收敛，则称级数∑xxPk k=1 k=1 为随机变量X的数学期望记为E(X).即 E(X)=∑P: k=1

1. 离散型随机变量的数学期望 定义 ( ) . , ( ). , { } , 1,2, . 1 1 1     =  =  = = = = = k k k k k k k k k k k E X x p X E X x p x p P X x p k X 为随机变量 的数学期望 记 为 即 若级数 绝对收敛 则称级数 设离散型随机变量 的分布律为 

分赌本问题 A期望所得的赌金即为X的数学期望 3 E(X)=200×4+0×4=150(元. 4 射击问题 平均射中环数”应为随机变量Y的数学期 望 E(Y)= 0×Po+1×p1+2×P2+3×P3+4×P4+5×Ps

分赌本问题 A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望 射击问题 “平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期 望 0 1 2 3 4 5 . ( ) p0 p1 p2 p3 p4 p5 E Y  +  +  +  +  +  = 150( ). 4 1 0 4 3 E(X) = 200 +  = 元