《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）7-1 点估计

第一节 点估计 一、点估计问题的提法 二、估计量的求法 三、小结

第一节 点估计 一、点估计问题的提法 二、估计量的求法 三、小结

、 点估计问题的提法 设总体X的分布函数形式已知，但它的一个 或多个参数为未知，借助于总体X的一个样本来 估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题. 例1 在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的 次数X是一个随机变量，假设它服从以2>0为参 数的泊松分布，参数入为未知，设有以下的样本值， 试估计参数兄

一、点估计问题的提法 设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的一个 或多个参数为未知, 借助于总体 X 的一个样本来 估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题. . , , , , 0 ,    试估计参数 数的泊松分布 参数 为未知 设有以下的样本值 次数 是一个随机变量 假设它服从以 为参 在某炸药制造厂 一天中发生着火现象的 X  例1

着火次数k 0 123456 发生k次着 75905422621 ∑=250 火的天数nk 解因为X~(2), 所以九=E(X) 用样本均值来估计总体的均值E) ∑k 灭三 k= (0×75+1×90+2×54+3×22+ ∑ 250 = 4×6+5×2+6×1)=1.22. 故E(X)=2的估计为1.22

75 90 54 22 6 2 1 250 0 1 2 3 4 5 6  = nk k k 火的天数 发生 次着 着火次数 解 因为 X ~ π(), 所以  = E(X). 用样本均值来估计总体的均值 E(X).   = = = 6 0 6 0 k k k k n kn x 4 6 5 2 6 1) (0 75 1 90 2 54 3 22 250 1  +  +  =  +  +  +  + = 1.22. 故 E(X) =  的估计为1.22

点估计问题的一般提法 设总体X的分布函数F(x;O)的形式为已 知，0是待估参数X1,X2,Xn是X的一个样 本，七1，x2,.,xn为相应的一个样本值 点估计问题就是要构造一个适当的统计量 (X1,X2,Xn),用它的观察值(1，K2,xn) 来估计未知参数0. (X1,X,.,Xn)称为8的估计量)通称估计， (x1,X2,xn)称为0的估计值 简记为0

点估计问题的一般提法 , , , , . , . , , , ( ; ) 1 2 1 2 本 为相应的一个样本值 知 是待估参数 是 的一个样 设总体 的分布函数 的形式为已 n n x x x X X X X X F x     . ( , , , ) ˆ ( , , , ), ˆ 1 2 1 2    来估计未知参数 用它的观察值 点估计问题就是要构造一个适当的统计量 X X  Xn x x  xn ( , , , ) . ˆ  X1 X2  Xn 称为的估计量 ( , , , ) . ˆ  x1 x2  xn 称为的估计值 . ˆ , 简记为 通称估计   

例2在某纺织厂细纱机上的断头次数X是一个 随机变量，假设它服从以观>0为参数的泊松分布 参数2为未知，现检查了150只纱锭在某一时间段 内断头的次数数据如下，试估计参数. 断头次数k 0 23456 断头k次的纱锭数ns 4560329211 150 解先确定一个统计量又，再计算出又的观察值x, 把x作为参数入的估计值 x=1.133.元的估计值为1.133

, , . , 150 , 0 ,    内断头的次数 数据如下 试估计参数 参 数 为未知 现检查了 只纱锭在某一时间段 随机变量 假设它服从以 为参数的泊松分布 在某纺织厂细纱机上的断头次数 是一个  X 45 60 32 9 2 1 1 150 0 1 2 3 4 5 6 k nk k 断 头 次的纱锭数 断头次数 . , , 把 作为参数 的估计值 先确定一个统计量 再计算出 的观察值 x  解 X X x x = 1.133 .  的估计值为 1.133. 例 2

二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数，是随机变量，故 对不同的样本值，得到的参数值往往不同，如何 求估计量是关键问题. 常用构造估计量的方法：（两种） 矩估计法和最大似然估计法

二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 如何 求估计量是关键问题. 常用构造估计量的方法: (两种) 矩估计法和最大似然估计法

1.矩估计法 设X为连续型随机变量其概率密度为 f(x;8,02,.,9),或X为离散型随机变量 其分布律为P{X=x}=p(x;9,02,.,8) 其中0,02，.，0为待估参数 若X1,X2,.,Xn为来自X的样本， 假设总体X的前k阶矩存在 且均为0,02，.，0的函数，即

1. 矩估计法 , , , , { } ( ; , , , ), ( ; , , , ), , , 1 2 1 2 1 2 其 中 为待估参数 其分布律为 或 为离散型随机变量 设 为连续型随机变量其概率密度为 k k k P X x p x f x X X             = = 若X1 ,X2 ,  ,Xn为来自X 的样本， 假设总体X的前k阶矩存在, , , , , 且均为1  2   k 的函数 即

4=E(X'=x'fx;8,8,.,6.)de(K为连续型) 或4=E(X)=∑x'p(x;8,8,.,0),(X为离散型) x∈Rx 其中R是x可能取值的范围1=1,2，k 因为样本矩4=1之X依概率收敛于相应的 总体矩4(1=1,2，.，k), 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数

E X x f x x k l l l ( ) ( ;1 , 2 ,, )d  + − = = (X为连续型) ( ) ( ; , , , ), 1 2 k x R l l l E X x p x X        或 = = (X为离散型) 其中RX 是x可能取值的范围, l = 1,2,  ,k ( 1, 2, , ), 1 1 l k X n A l n i l l i =  = = 总体矩  因为样本矩 依概率收敛于相应的 的连续函数. 样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩

矩估计法的定义 用样本矩来估计总体矩，用样本矩的连续函 数来估计总体矩的连续函数，这种估计法称为矩 估计法. 矩估计法的具体做法：令4=A,1=1,2,.,k, 这是一个包含k个未知参数日1，日2，0的方程组， 解出其中0,02，.，0k: 用方程组的解，.，0分别作为0,02，.，0的 估计量，这个估计量称为矩估计量， 矩估计量的观察值称为矩估计值

矩估计法的定义 用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函 数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩 估计法. 矩估计法的具体做法: A , l 1,2, ,k. 令 l = l =  , , , , 这是一个包含k个未知参数1  2   k的方程组 , , , . 解出其中1  2   k , . , , , ˆ , , ˆ , ˆ 1 2 1 2 估计量 这个估计量称为矩估计量 用方程组的解    k 分别作为    k 的 矩估计量的观察值称为矩估计值

例3 设总体X在0，]上服从均匀分布其中0 (0>0)未知，(X1,X2,Xm)是来自总体X的样本， 求0的估计量. 解 因为4=E(X-2 根据矩估计法，令 所以0=2X为所求0的估计量

. ( 0) ,( , , , ) , [0, ] , 1 2 求 的估计量 未 知 是来自总体 的样本 设总体 在 上服从均匀分布其 中     X X X X X   n 解 ( ) 因为 1 = E X , 2  = 根据矩估计法, , 2 ˆ = A1 = X  令 2 . 所以  ˆ = X 为所求的估计量 例3