《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿，浙大版）第二章 随机变量及其分布 2.5 随机变量的函数的分布

随机变量的函数设X是一随机变量，g()是已知的连续函数， 则Y也是一个随机变量，当X取值x时，Y取值y=g(x). 称Y=g(X)为随机变量X的函数. 第五节随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 重点：分布函数法；公式法 问题：已知随机变量X的概率分布，求Y=g(X)的概率分布·

一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 重点：分布函数法；公式法 第五节 随机变量的函数的分布 随机变量的函数 称 Y = g( X ) 为随机变量 X 的函数 . 则Y 也是一个随机变量，当X 取值 x时，Y 取值 y  g(x ). 设 X 是一随机变量，g()是已知的连续函数， 问题：已知随机变量 X 的概率分布，求 Y  g(X )的概率分布

一、离散型随机变量的函数的分布律 例1设X的分布律为 X-1012 Pk0.20.30.10.4 求Y=(X-1)2的分布律 解：由X的分布律可得 Y=(X-1)4101 Pk 0.20.3 0.10.4 所以Y的分布律为 Y014 Pk0.10.70.2

4 1 0 1 2 Y  (X  1) k p 0.2 0.3 0.1 0.4 解： 设 X 的分布律为 X k p 1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 例1 所以 Y 的分布律为 2 求 Y  (X  1) 的分布律. Y k p 0 1 4 0.1 0.7 0.2 由 X 的分布律可得 一、离散型随机变量的函数的分布律

离散型随机变量的函数的分布律 如果X是离散型随机变量，则Y=9(X)也是离散型随机变量， 若X的分布律为 X X1 X2 Pk P P2 .卫 . 则Y=g(X)的分布律为 Y=g(X) g(x1)8(x2).g(x) Pk P1 P2 Pk 注：若g(x)中有值相同的，应将相应的P合并

离散型随机变量的函数的分布律 如果 X 是离散型随机变量， X k p 1 2 k x x  x  1 2 k p p  p  则Y  g(X )的分布律为 k p Y  g(X ) 1 2 k p p  p  1 2 ( ) ( ) ( ) k g x g x  g x  ( ) , . k k 注：若 g x 中有值相同的 应将相应的 p 合并 若 X 的分布律为 则Y  g(X )也是离散型随机变量

二、连续型随机变量的函数的概率密度 重点！ F(x)=P{X≤x=∫f)dt定义域(-o,o) f(x)=F'(x), 问题：已知X~fx(x),Y=g(X),求Y~fy(y) 方法一：分布函数法 F,(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y} =∫s,f(wdx,（-o<x<oh fy(y)=[Fy(y),(-o<y<o)

二、连续型随机变量的函数的概率密度 ——重点！ F(x)  P{X  x} ( )d 定义域（ ，） x f t t    f (x)  F(x). 方法一：分布函数法 ~ ( ) ( ) ~ (y) X X Y 问题：已知 f x ，Y  g X ，求Y f ( ) ( )d , ( ), X g x y f x x x        ( ) [ ( ) ] , ( ) Y Y y  f y  F y    y   ( ) { } { ( ) } FY y  P Y  y  P g X  y

例2.设随机变量X的概率密度为 0<x<4, fx(x)= 81 0,其它. 求随机变量Y=2X+8的概率密度 解第一步先求Y=2X+8的分布函数F,(y): Fx(Uy)=PY≤y}=P{2X+8≤y} =Px≤'，3-r',8-度fw 第二步由分布函数求概率密度. 0)=)-f.9-号

第一步 先求Y=2X+8 的分布函数 ( ). FY y ( ) { } FY y  P Y  y  P{2X  8  y} 解 , 0 4, ( ) 8 0, . 2 8 . X X x x f x Y X           设随机变量 的概率密度为 其它 求随机变量 的概率密度 8 { } 2 y P X    例2. 8 ( ) 2 X y F   第二步 由分布函数求概率密度. 8 8 ( )( ) 2 2 X y y f     Y ( ) ( ) Y f y  F y 8 1 ( ) 2 2 X y f   8 2 = ( ) y X f x dx  

、1 f0m={ 0<y8<4 2 0, 其它 y-8 32, 8<y<16, 0, 其它

8 , 8 16, 32 0, . y y          其它 1 8 1 8 ( ) , 0 4, ( ) 8 2 2 2 0, . Y y y f y            其它

例3设随机变量X具有概率密度fx(x),-o0时，F,Oy)=P{Y≤y}=P{X2≤y =P-√D≤X≤D}=Fx(D)-Fx-少)， 上式两边关于y求导，可得 m=人2站-志 可得 m 0 y≤0

( ) FY y  P{Y  y}  0, ( ) FY y  P{Y  y} 2  P{X  y}  P{ y  X  y } ( ) FX  y ( ), FX   y 解： ( ) Y f y 1 ( ) 2 X f y y  1 ( ) , 2 X f y y   1 [ ( ) ( )] 0 ( ) 2 . 0 0 X X Y f y f y y f y y y          

Un- y≤0 如：X~N(0,1),即X的概率密度为 p)=1e2,-o0, 则Y=X的概率密度为：f,(y)=了√2π 0 y≤0. Y服从自由度为1的x分布

2 2 1 ( ) , , ~ (0,1) 2 x X N X  x e x         如： ，即 的概率密度为 2 则Y  X 的概率密度为： 1 2 2 1 , 0, ( ) 2 0 0. Y y y e y f y y            服从自由度为 的 分布. 2 Y 1  1 [ ( ) ( )] 0 ( ) 2 . 0 0 X X Y f y f y y f y y y          

方法二：公式法 1.定理设随机变量X的具有概率密度fx(x),其中-o0(或恒有g'(x)<0), 则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为 0-wA 0, 其它 其中h(y)是g(x)的反函数， a=minig(-o),g(co),B=maxtg(-oo),g(co)). (即(a,)为y=g(x)在(-o,o)上的值域)

方法二：公式法 其中h( y) 是 g(x)的反函数， ( ), ( ) ( ) 0( ( ) 0) [ ( )] ( ) , , ( ) 0, . ( ) , 设随机变量 的具有概率密度 其中 ， 又设函数 处处可导，且恒有 或恒有 ， 则 是连续型随机变量 其 1.定 概率密度为 理 其它 X Y X X f x x g x g f h y h y α x g x g f y Y y X     β              即(α，β)为y  g( x)在(,)上的值域 α  min{g(), g()}，β  max{ g(), g()}

证：这里使用分布函数法来证。假定g'(x)>0,分别记 X,Y的分布函数为Fx(x),F(y): Y=g(X)只在(a,B)内取值，即y∈(a,B) .当y≤a时，F(y)=P{Y≤y}=0,) 之时，F小-PYsy-LU)=F0)=0 当x<y<B时，F,(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y} =P{X≤h(y)}=Fxh(yI, f (y)=F(y)=[Fxlh(y)=fxIh(y)-(y), o-m 其它

( ) FY y  P{Y  y}  0, ( ) FY y  P{Y  y}  1, ( ) FY y  P{Y  y}  P{g(X )  y}  P{X  h( y)} [ ( )],  FX h y ( ) ( ) Y Y f y  F y [ ( )] ( ), X  f h y  h y ( ) Y  f y [ ( )] ( ) . 0 X  f h y h y   y      其它  当y  时， 当y  时， 当  y  时， ( ) Y f y       Y  g(X )只在(， )内取值，即 y  (， ) ( ) 0 FY  y  [ ( )]  FX h y     