《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿，浙大版）第三章 多维随机变量及其分布 3.3 条件分布

第三节条件分布 一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布

一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布 第三节 条件分布

一、离散型随机变量的条件分布一一条件分布律 定义设(X,Y)是二维离散型随机变量，分布律为 P{X=x,Y=yj}=Pu,i,j=1,2,., 对于固定的j,若PY=y}>0,则 X)P(XD(1.2) P(Y=y} P.j 称为在Y=y,条件下X的条件分布律。 对于固定的i,若P{X=x,}>0,则 PIY=Y X-x)-AX-XY-y P{X=,} 2（j=1,2, P 称为在X=x,条件下Y的条件分布律

称为在Y y = j条件下 X 的条件分布律。 { } P X x Y y = = i j ( 1,2, ) i = { , } { } i j j P X x Y y P Y y = = = = ij j p p• = 一、离散型随机变量的条件分布 对于固定的 j，若 { } 0 P Y y =  j ，则 定 义 设 （X，Y）是二维离散型随机变量，分布律为 { , } , , 1,2, P X x Y y p i j = = = = i j ij ， ——条件分布律 { } P Y y X x = = j i ( 1,2, ) j = { , } { } i j i P X x Y y P X x = = = = ij i p p • = 对于固定的 i，若 { } 0 P X x =  i ，则 称为在 X x Y = i 条件下 的条件分布律

Px==,= (i=1,2,) 即 P.i P(Y=yX=x)=Pu (j=1,2,) 注：作为条件的随机变量的取值是固定的。 条件概率的性质：10PX=xY=y≥0： 2°∑P{X=x,lY=y}=1 i- 例1在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人 完成的。其一是紧固三只螺栓，其二是焊接2处焊点。以X 表示机器人紧固的螺栓坚固得不良的数目，以Y表示由机器 人焊接的不良焊点的数目。据积累的资料知(X,Y)的分布 律如下：

{ } P X x Y y = = i j ( 1,2, ) i = ij j p p• = { } P Y y X x = = j i ( 1,2, ) j = ij i p p • =      即 例 1 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人 完成的。其一是紧固三只螺栓，其二是焊接 2 处焊点。以 X 表示机器人紧固的螺栓坚固得不良的数目，以 Y 表示由机器 人焊接的不良焊点的数目。据积累的资料知（X，Y）的分布 律如下： 条件概率的性质： 1 0 P{ X= xi |Y= yj }0； 0 1 2 { | } 1 i j i P X x Y y  =  = = = 注：作为条件的随机变量的取值是固定的

0 1 2 3 P(Y=j) 0 0.840 0.030 0.020 0.010 0.900 1 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080 2 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020 P(X=i 0.910 0.045 0.0320.013 1.000 求(1)在X=1的条件下，Y的条件分布律. (2)在Y=0的条件下，X的条件分布律. 解 ①PW=0x=1=PX=1,y=0 }0.030 P{X=1} 0.045 POY=1X=1)-P(X=LY=B 0.010 PX=1} 0.045

X Y 0 1 2 3 0.840 0.030 0.020 0.010 0.060 0.010 0.008 0.002 0.010 0.005 0.004 0.001 0 1 2 0.900 0.080 0.020 P X i { } = 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000 P Y j { } = 解 求（1）在X=1的条件下，Y的条件分布律. （2）在Y=0的条件下，X的条件分布律. { 1, 0} 1 { 0 1} { 1} P X Y P Y X P X = = = = = = （ ） 0.030 , 0.045 = { 1, 1} { 1 1} { 1} P X Y P Y X P X = = = = = = 0.010 , 0.045 =

PY=2X=1}=PX=1,y=20.005 P{X=1} 0.045 即在X=1的条件下，Y的条件分布律为 Y=k 01 2 P(Y=kX=1) (2)同理可得，在Y=0的条件下，X的条件分布律. X=k 0 1 23 P(X=kY=0) 84321 9090 90 90

Y k = P Y k X { 1} = = 0 1 2 6 2 1 999 即在 X Y = 1 , 的条件下 的条件分布律为 （2）同理可得，在Y=0的条件下，X的条件分布律 . X k = P X k Y { 0} = = 0 1 2 3 84 3 2 1 90 90 90 90 { 1, 2} { 2 1} { 1} P X Y P Y X P X = = = = = = 0.005 , 0.045 =

思考与练习 补例.已知分布律，求Y=1时X的条件分布： 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 1 3/14 3/14 0 2 1/28 0 解 由于Py-1}=3+3 0- 1414 P(X=xY=1=P(X=xY= (i=0,1,2) P{Y=1} 3 得Px=0P=I=4=} 32 7

解 3 3 3 { 1} 0 , 14 14 7 由于 P Y = = + + = X Y 0 1 2 2 1 0 3 28 9 28 3 28 3 14 3 14 0 1 28 0 0 补例. 已知分布律，求 Y=1 时 X 的条件分布. { , 1} { 1} , { 1} i i P X x Y P X x Y P Y = = = = = = ( 0,1,2) i = 3 1 14 { 0 1} , 3 2 7 得 P X Y = = = = 思考与练习

3 P{X=1Y=}= 号 2 P{X=2Y=1}= 30 7 因此，在Y=1的条件下X的分布律为 X=i 0 1 2 P{X-Y=1} 1 0 2 2

3 14 1 { 1 1} , 3 2 7 P X Y = = = = 0 { 2 1} 0. 3 7 P X Y = = = = 因此,在 Y=1 的条件下 X 的分布律为 X i = P X i Y { 1} = = 0 1 2 0 2 1 2 1

注：离散型随机变量的条件分布函数 对于固定的y,若P{Y=y>0,则 条件分布函数 Fx(xy)=P{X≤x|Yyy =∑P{X=x,Y=y

注：离散型随机变量的条件分布函数 条件分布函数 = { | } i i x x P X x Y y   = = 对于固定的y P ，若 { } 0, Y y =  则 F x y X Y ( ) = P X x Y y { | = } 

二、连续型随机变量的条件分布 对于连续型随机变量，不能象离散型随机变量那样 通过P{X≤x|Y=y}来定义条件分布函数了。 给定y,对任意的x,ε>0，考查条件概率 PX≤xly<y≤y+e=Px≤x,y<y≤y+& P{y<Y≤y+e} _∫“fc,efx,y+9,e -,8,02∈[0,1] ∫f,0d &fr(y+028) e→ah

二、连续型随机变量的条件分布 对于连续型随机变量，不能象离散型随机变量那样 通过P X x Y y { | }  = 来定义条件分布函数了。 P X x y Y y { | }    +  给定 y，对任意的 x，  0，考查条件概率 { , } { } P X x y Y y P y Y y      + =   + ( , ) ( ) x y y y Y y dx f x y dy f y dy   + − + =      1 1 2 2 ( , ) = , , 0,1 ( ) x Y f x y dx f y         − +  +  ( , ) 0 , ( , ) ( ) ( ) 若 ， 关于 连续 x Y Y f x y dx f x y f y y f y  − → 

Fxy(x)=PX≤xY=Jy=limP{X≤xly<Y≤y+e 工 ∫.f人()dx

0 ( ) { } lim { | } F x y P X x Y y X Y P X x y Y y   → = =  =    + ( , ) = d ( ) x Y f x y x − f y  = ( | )d | x X Y f x y x −