《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿，浙大版）第二章 随机变量及其分布 2.2 离散型随机变量及其分布律

第二节 离散型随机变量 及其分布律 一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布

一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布 第二节 离散型随机变量 及其分布律

一、离散型随机变量的分布律 定义设离散型随机变量X所有可能取的值为x4(k=1,2,), X取各个可能值的概率，即事件{X=x}的概率为 P{X=x}=P4,k=1,2,. 称此式为离散型随机变量X的分布律. 离散型随机变量的分布律也可表示为 x1x2·xn" P1P2.Pn 注：分布律满足的两个条件：∫0卫≥0，k=山2，. 1(2∑P=1

( 1,2, ), , { } { } , 1,2, . . k k k k X x k X X P k x X X x p = = = = = 设离散型随机变量 所有可能取的值为 取各个可能值的概率 即事件 的概率为 称此式为离散型随机变量 的分布律 一、离散型随机变量的分布律 定义 注： 分布律满足的两个条件： (1) 0, 1,2, ; k p k  = 1 (2) 1. k k p  =  = X k p 1 2 n x x x 1 2 n p p p 离散型随机变量的分布律也可表示为

注：利用离散型随机变量X的分布律可求事件的概率： 例如设离散型随机变量X的分布律为 X012345 131434 Pk 161616161616 则P{X≤2}=P{x=0}+P{x=1}+P{X=2} 6+3+1.8 16+16+16-i6 P{0.5≤X<3}=P{X=1+P{X=2 311 -16+6=4

P X  = 2 P X 0.5 3   = 例如 设离散型随机变量 X 的分布律为 则 0 1 2 3 4 5 1 3 1 4 3 4 16 16 16 16 16 16 k X p 1 3 1 16 16 16 = + + 5 16 = 3 1 16 16 = + P X P X P X  = + = + = 0 1 2      P X P X  = + = 1 2    1 4 = 注：利用离散型随机变量X 的分布律可求事件的概率：

般地，设离散型随机变量X的分布律为 P{X=x}=P4,k=1,2,. L是一个实数集合，事件A={XEL,则 P0=Px∈I-PX-=I=n

L是一个实数集合，事件A= {X∈L}，则 一般地，设离散型随机变量X的分布律为 P A P X L ( ) { } =  = { } k k x L P X x   = k k x L p  =  { } , 1,2,. P X x p k = = = k k

例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯， 每组信号灯以概率p禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时， 它已通过的信号灯的组数，求X的分布律.（信号灯的工作是 相互独立的). 8鲁8宫 解X所有可能的取值为：0,1,2,3,4.则有 P{X=0}=p,P{X=1}=(1-p)P,P{X=2}=(1-p)'P P{X=3}=(1-p)°p, P{X=4=(1-p)4 .X的分布律为： 2 3 4 (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)1

例1. 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯， 每组信号灯以概率 p 禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时， 它已通过的信号灯的组数，求X 的分布律. (信号灯的工作是 相互独立的). 解 则有 pk X 0 1 2 3 4 p (1 ) − p p 2 (1 ) − p p 3 (1 ) − p p 4 (1 ) − p  X的分布律为： P X{ 0} = = p， P X{ 1} = = (1 ) − p p， P X{ 2} = = P X{ 3} = = P X{ 4} = = 2 (1 ) − p p 3 (1 ) , − p p 4 (1 ) − p X所有可能的取值为：0 1 2 3 4.

二、常见离散型随机变量的概率分布 1.(0-1)分布（两点分布) 设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为 X 0 P& 1-p 或：P{X=k=p(1-p)-k,k=0,1(0<p<1) 则称X服从(01)分布或两点分布： 注：任何一个只有两种可能结果的随机现象，总能定义一 个服从0-1)分布的随机变量

二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量X 只可能取0与1两个值, 它的分布律为 X pk 0 1− p 1 p 则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布. 1. (0-1) 分布（两点分布） 1 { } (1 ) , 0,1(0 1) k k P X k p p k p − 或： = = − =   注：任何一个只有两种可能结果的随机现象, 总能定义一 个服从(0-1)分布的随机变量

实例1“抛硬币”试验，观察正、反两面情 况. -VV)- 随机变量X服从(0-1)分布. 其分布律为 :

实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情 况. 随机变量 X 服从 (0-1) 分布. 1, X = X(e)    = 0, 当e = 正面, 当e = 反面. X pk 0 1 2 1 2 其分布律为 1

实例2200件产品中，有190件合格品，10件不合格 品现从中随机抽取一件，那末，若规定 术, 取得不合格品， 0,取得合格品. 0 1 190 10 PR 200 200 则随机变量X服从(0-1)分布：

实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定    = 0, 1, X 取得不合格品, 取得合格品. 则随机变量 X 服从(0-1)分布. X k p 0 1 200 190 200 10

ci/e 说明 两点分布是最简单的一种分布，任何一个只有 两种可能结果的随机现象，比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等，都属于两点 分布

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布. 说明

2.伯努利试验、二项分布 Jacob Bernoulli ()伯努利试验Bernouli (1654 -1705) 设试验E只有两个可能 Switzerland 结果：A及A,则称E为伯努利试验。 设P(A)=p(0<p<1),此时P(A)=1-p (2)n重伯努利试验 将伯努利试验E独立地重复地进行n次，则称这一串重 复的独立试验为n重佰努利试验、 各次试验的结果互不影响 每次试验P4)=p不变

各次试验的结果互不影响 每次试验P(A)=p不变 2. 伯努利试验、二项分布 (1) 伯努利试验Bernouli 设试验 只有两个可能 结果 : , 及 则称 为伯努利试验. E A A E (2) n 重伯努利试验 将 伯努利试验 地 地进行 次 则称这一串重 复的独立试验为 独立 重复 重伯努利试验 , n . E n 设 P A p p P A p ( ) (0 1), ( ) 1 . =   = − 此时 Jacob Bernoulli （1654——1705） Switzerland