《概率论与数理统计》课程教学资源（书籍文献）概率论与数理统计（第二版）习题解答

第一章概率论的基本概念 来量生尺，粉察仅漏，目尽毛里，白菊暴策 —冲之 圈导学 —《便率论》在《桑合论》的善地上立足 更加复杂的计算工作，得请《微积分》出山，干是有了第二，三、四和五章， 全查可用一句话作为红线申起来， 随事件发生的可能性大小的定义及计的公潭化】 [1]随机率件，定义它为随机杖验￡的若干个可能的结果构成的集合，即S 在学4个关系”3个运算时，要抓住图形，在A一B=A一AB,在数 写”《个律”时，重点是菌·章根律。 学会用字每表示事件，是一个重要的入门点，此关套过不可，香则，对习题 将桌手无 [2]麦生，试酸站果出来了，当且仅这一结果黑于A,则称事件A发生了， 典型情误：认为A发生是指A的所有元素均在试验结果中同时出现，若忽视了 这个餐色，一定会似懂连懂飞石雅到干李科的大门之外 ,皮尔等人的试验，和出端 枚硬币，出正的领率为：0.5181,0.5069. “洪湖水，液打准”很明是，在这一堆不瑞定的数的骨后，有一个确定的数操智 着它幻.这个数是0.5000一概率。 寻找不确定象背后的定因素，是这门学科的核心新究课题。 可裂商餐装子具精材时又多更华学”，多大反复质果更佳

线性代数·复变函数·顺率统计习通全解（下黄）廊 第一立 率论的本顺·本知积姑构 2 [4]定义，学《概率论与数理统计)，最起码得知道什么是概率，否则：根本就 谈不上人门二字，然面，看似简单的东西，一旦上升为理论，就顿时难了起来。给 圆本章如识结物 概率下定义就是如此 定义P(A)为概事，对P()这一集合函数有严格的要求，首先，P()将 任一事件A指定一个实数与对之对应，其次，对P(·)规定了三条，”恒3条”，以 本空一(E的所有可的结来】 及“授性6条“，要倒背如流，推导性质的方法均为核心方法，也要熟。 A为5的任一于是合：”系0了不 [5计算.本章多4，5和56介相了典顺型及其计算，吉型的定义 弧两点，”有限元，等可能，它的计算要公式1”古典 的计算公式 个准变于分？奉 艺条件微率公式：于乘法定理公式：4”全概率公式：5贝叶渐公式心做应性公 式条件顾率是概蜜，相应地有“条概3条“，“条疑性6条”（详见本章知识结构都 -事件发国 分) [6]公理化，学科是否建立，以其是香列有一套公理化体系为标志，公里化 ()-坠，.()有性情.”5 的中心思想为，以若干条不证自明的条文作为基石，并由此进行增导，开拓，近 而搭建起索伟的学科大厦群落。 规华定又 成功堆蒋率论实现公理化的是现代的前苏联大数学家柯尔莫延格，时 P(A)+P(A:)= 间是1933年 学习这门课程时，不妨留意学科体系韵精建过程，没准哪一天，由你所创立 的学科在全世界流传开来，让金发碧眼的外国人学不到白，考不及格.我们阴酚 便单性国 着这一天早口来。 本章的料号推进次序为： 文又护有限元公蒂可能 ESf,(A)P(A)+P(B|A)+B,B.B.为划分+金+贝+ 计养：PA)=中二个整， P(AB)-P(A)P(B) 3P(BA)≥02rP51A)-1 可列可 手机响了，短信来了： BCC-P(B -CIA)-P(BIA)-P(CIA) P(CIA 增字了了歌 P(BCA)可推广到a◆ 地已听不慢课了， 法克AB)=P(AP(B引)(PA)>0)可广m个 他干镜不上课了 全会PA-P(ABP(B)++PAR)P(司 上不上课已无所谓了， -因中新◆人因 )-PAB四事在k#手，泰插无之， 这学有版来统计宠餐了， 口快泰件互刻限愿风中数。 →PA)=P(A)PB)可广到个 之清专泰来，全天因

提性代数·复变函数·服率统计习题全解（下骨）廊 香第一章廉率论的基本凝念·习题全解 9 郎习题全解 (1)(A UB)C -(D:UDI U D.U D,U D:U D.) (D:U D:U D.U D)-D,U D:UD. AC U BC (D:U D)U (D:U D.) S1.1随机试验§1.2样本空间、随机事件 (2)AB UC-D,U D:UC D UC (AUC)(BUC)-(AUCnB)U(AUC 11* 写出下列随机试验的样本空何 ∩C)=DUD:UD,UC-DUC (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）， 4.0指出下列命题中哪些成立，哪些不成立？ (2)生产产品直到有10件正品为止，记朵生产产品的总件数。 (1)AUB=AEUB成立 (3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品“，不合格的记上“次 (2)AB=AUB不戚立AB表示“事件A不发生而且B发生" 品”，如连续查出2个大品就停业检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 AUB表示“A,B至少有一个发生”显然不等. 结果。 (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 (5)同时掷 (4)(AB)(AB)- 成立 三预设子，记录三模数子点数之和 (6)将一尺之捶折成三段，观泰各段长度， (5)若ACB,则A=AB, 成立 要点人们不能事先确定试验的哪一个结果一定发生，但可事先知道所 (6)若AB=⑦且CCA,则BC=②R立 有可能的结果，它们的集合即样本空间，往后计算率时，首先得知道S=? 《7)若ACB,则BC不 成立 (8)若BCA,则AUB-A 成立 解(1)S={一01，100n}其中#为小班人数 50设S={z0x≤2，A-{x号00 x+y+=1 1B-川片≤≤含或1<r<是) 2中2设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件。 (2)AUB-{x10≤x≤25 (1)A发生，B与C不发生，(2)A与B都发生，而C不发生 (3)A西=万U万=AUB=z}云x<是 (3)A,B,C中至少有一个发生：(4)A.B,C都发生 (5)A,B,C都不发生，(6)A,B,C中不多于 个发生 (4)A百=S-AB{x0x≤号或1<x2 (7)A,B,C中 不多于两个发生(8)A,B,C中至少有两个发生 要点 试验结果出来丁，要看A是否发生，得看这个结果是香为A中一个 51.3频率与概率§1.4等可能概型（古典概型 元赏，须认真体会“事件发生“这一重要就念，否则，本课程无法入门！ 解(1)AEC(2)ABC (3)A U B UC ()ABC (5)A8C 6.3设A,B为两事件且P(A)-0.6,P(B)=0.7,问(1)在什么条件 Ds/DD. 下P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值， (B)AB U BC U AC 最小值是多少？ 3◆0用作图的方法说明下列各等式 要点思考将P(A),P(B),P(AB)联系在一起的公式 (1(A UB)C AC U BC. P(A UB)=P(A)P(B)-P(AB) (2)AB UC-(A UC)(B UC) 解(1)观察上式，已知P(A),P(B)均固定，当P(AUB)最小时，P(AB) 如图11. 图1 最大，当AUB=B,即ACB时，P(AUB)最小，此时P(AB)取到最大值： 最大为P(AB)=P(A)=0.6: (2)当P(AUB)最大时，P(AB)最小.当AUB-S时，P(AUB)取得 ·题号编持衣序，二服中三版，数字0表示没有此愿。 最大值为1，此时，P(AB)取得最小值，最小值为P(AB)=P(A)十P(B)

10 线性代数·复变函数·概率使计习题全解（下椅）雪 意第一章概率论的基本餐在·习题全解 11 P(AUB)=0.6+0.7w1=03. 74设A,B,C为三事件，且P(A)-P(B)=P(C)=},P(AB) 准，2精红镶的种数为C,C,6好州所求概率为S~:G-器 P(BC)=0.P(AC)=号，求A,B.C至少有一个发生的额半. 12°8在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个.(1)求 恰有90个次品的概事，(2)求至少有2个次品的概率。 要点用字母表示率件，是本课程入门的又一关健。由“至少”联想“U”, 要点 基本事件：从1500个产岛中任进200个，组合同题：由“至少”联想 遵而想到公式： P(A)=1-P(A P(A UB UC)-P(A)+P(B)P(C)-P(AB)-P(BC)- 解 S中个数C P(AC)+PCARC) (1)有90个次品的选法种数C。·C,所求概率为C·C/C: 解至少有一个发生，A【1B1 P(AU BUC)- P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)- (2)没有次品的概率P0一C/C。 P(BC)-P(AC)+P(ABC) 有一件次品的概率p:一C·C8/C8 至少有两件次品的概率 -分+分+寻-0-0-音+0-吾 p-1-p一p-1-C0/Cw。一C1·C8/C8o 其中 P(ABC)≤P(AB)=O→P(ABC)-O 13⊙9从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成 85在一标雅英语词典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词， 一双的每率是老少 解法1 样本点总数为P。,记A一“4只鞋子中至少有2只是一双”，则对 立事件A=“4只鞋子均不成双”，故第一只鞋子是从5双(10只)中任取一只 要点题8⊙5一题1612为古典概型所对应习题，PA)=分千，分子 有10种取法，第二只鞋子从剩下的4双(8只)中任取一只，有8种败法，第三只 一A中基本事件个数，分母一S中基本事件个数，首先要弄清燕本事件是什么， 鞋子从再剩下的3双(6只)中任取一只，有6种取法，第四只鞋子有4种数法，故 再用排列组合知识计算网 事件A所包含的样本点总数为10×8×6×4，得 “数” 基本事件，从26中选1，再从(26一1)中选1.S中个数-P,则能排 Pa=1-Pa)-1-18x8x8x9- 上述单词的概率P一亮一品 解法2A中个数是从5双不同鞋子中任取4双，再从每双中任报一只的不 ⊙0 在屯话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率 同取法的种数，共有C×2种取法，故 (设后 四个数中的每一个数都是等可能地取0,1.，9)。 PA)=1-P(a=1-C×2/C- 解所有可能的种数为10×10×10×10种，后四个数全不相同的种数 解法3记A1=“取出的4只鞋子中恰有2只配成一双”，A?=“散出的4 为P则所求缀率为总-器 只鞋子 好配成 -4:UA: A=0 10.6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的妃意章，任选3个 A,中个数为从5双鞋子中任取一双，再从另外4双中取不能配对的两只 记录其纪念章的号码 共有CG-C种取法数从看PA)=CCC尘-异 C。 (1)求最小 号码为 5的率：(2)求最大号码为5的摄率， A:中个数为从5双鞋子中任取2双的取法数，即有C子种取法，从面 样本空问S的样本点总数为C。, (1)最小号码为5是必须取到5号，而其余2人从6~10号中任取，故事件 P(A)=C好/Ci=2 的样本点个数为C,所求城率为=C/C。一立 所以 P(A)=P(A)十P(A=超 (2)最大号码为5，其余2人在14中选号，事件的样本点个数为C,所求 1410 在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽 概率为p:=C/Ca一 7张，求其排列结果为ability的概率. 11.7某油公司发出17桶袖，其中白 解抽法总数为P,则抽到ability的疑率为 在搬运过程中所有标签脱落 0桶惑《桶，红3桶， ,交货人随意将这些袖漆发给顺客，问一个定货4 p=Lx2×2X1X1X1X1=0.00024 P 桶白漆，3桶照藤和2桶红，的鼷客能按所定领色如数得到货的概率是多少， 其中字母b有两种选择，第 一个字母i有两种择 要点从17桶中，选9(-4+3+2)桶，组合问题。 解设已给这些袖漆桶编号，则总的选法种数为C:,有4栖白漆，3桶网 15°11将3个球随机地故人4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别 为1,2,3的概*

12 线性代数·复变晒数·板率统计习题全解（下斯） 香第一章授率论的基本念·习题全解 13 要点球选杯子，面不是杯子选球。 解设3个球已有编号，球最大个数为1的种数为P:,球最大个数为2的 所求概率 种数为CC!C球最大个数为3的种数为C,所以球最大个数为123的 基本事件：掷两顺骰子，观察其点数 率分别为： S中个数=6X6一36 C·C·C A=11,6),(2.5),(3,4),(6,1).(5.2),(4,3)1,A中个数-6 P+CCC+C'P丹+GC·C+'P+C·CC+ AB={(1.6),(61)},AB中个数=2 P1)-吉 P(A) 16⊙1250只钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个钉强度太 解法2将解法1中的A看做样本空同。 弱，每个部件用3只锦钉：若将3只强度太到的卿钉都装在一个部件上，则这个 P(B1A)-串餐-各-吉 中个数 部件强度校太羽。问发生一个部件强度太期的概率是多少？ 解基本事件一“50个钉中任取3个”，S中基木事件个数=C= 20.16据以往资料表明，某一3口之擦，患某种传染病的概率有以下规 19600,令A“一个部件强度太”则A=“先从10个都件中选一个，再把三 排：P(孩子得病}=0.8，P{母亲得病|孩子得病)一0,5，P(父莱得病|母亲及 个期铆灯装在其上”，A中基本事件个数=CC3,则 孩子得树》一0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的凝率 PA-e-g8-10 解设A=“孩子得病”，B=“母亲得病”，C■“父亲得病”，则所求概率 为P(ABC).已知P(A)-0,6,P(B|A)=0.5,P(C1AB)-0.4,则由乘法定 理有 P(AB)P(BIA)P(A)-0.3 §1.5条件概率§1.6独立性 P(ABC)P(CAB)P(AB)-0.12 AB-ABC U ABC.(ABC)(ABC)P(AB)-P(ABC)+P(ABC) P(ABC)=P(AB)-P(AB)=0.3-0.12■0.18 17⊙13已知P(A)=0.3.P(B)-0.4,P(AB)0.5,求P(B1AU 21.17已知在10只品体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只， B). 作不放回抽样，求下列事件的概有， 要点用条件概率的公式将P(B引AUB)写开，然后，缺什么，补什么。 (1)两只都是正品：(2)两只都是次品(3)一只是正品，一只是次品(4)第 二次取出的是次品， 解法1设A一“2正"，B=“2次”，C=“1正1次”，D=“第2次次”，基 由P(A)=0,3,P(B)=0.4,有P(A)-1-P()-0.7,P(B)-1 本事件一“取一只，不放回，再取一只”，S中个数=C,可利用古典凝型公式计 P(B)=0.6.由A=ABUAB,且(AB)(AE)-可，知P(A)=P(AB UAB) =P(AB)+P(AE,于是 算： PA)一串不 P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.5-0.2 DA中个数=G:于是PA)-是-碧 将具体数代人后有：P(B1MUB)一a7+8后-05=专=0.25 1814已知P(A)-,P(BA)=,P(A1B)=之，求P(AUB). ②)B中个数=，于是P()=是= 解P(A)=子>0，由乘法定理有：P(AB)-PA),P(B1A)-立 ac中个数-cG,手是P0)-器-碧 又由PAB)-PAB)P(B)有：P(B)=器=号=音 (4)D一“第一次取出正且第二次取出次”U“第一次取出次且第二次取出 P(A U B)P(A)+P(B)-P(AB)=+= D中个数-9+9，于是P(D)=CG/2+GG2=专 2 1915掷两顺骰子，已知两颗觳子点数之和为7，求其中有一期为1点的 概率（用两种方法）， 解法2设事件如解法1，又设A1一“第1次正”A:=“第2次正”.则瓦 要点解法1，考泡整个样本空向，解法2，将已发生的事件当做样本空间， =“第1次次”，A:=“第2次次”，用舜法公式算 解法1设A=“两颗般子点数之和为？“，B=“有一颗子点数为1”，则 (IP(A)-P(AA)-P(A)P(AIA)-是×号=-器

14 线性代数·复变面数·展率统计习延全解（下爵）● 第一章率论的基本板念·习题全解 15 (2P(B=Pa,)-P(aP(a1a)=是×音-品-希 B:构成一个划分.A=“从乙袋中取得白球”，由全概率公式 (3)P(C)=P(AA:U AA)-P(AA)+P(AA:)+ P(A)-P(AIB)P(B)+P(AIB:)P(B:) P((AA:)(AA)) P(A)P(A:A)+P(A)P(A:A)+0 0°19(2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球第二只盒子装有4只红球 -是×号+品×号-将 5只白球.先从第一只盒子中任取2只球放入第二只盒子中去，然后从第二只众 (4)P(D)=P(A2UA1A2)=P(A:A)+P(A1) 子中任取一只线，求取到白球的概率 P(A不)(A1A2) 解 设B一“从第一个套中取到只白球”d一0,12.则BB,B构吸 P(A)P(A:IA)+P(A)P(A)-o 一个划分，设A■“从第二个盒中取得白球”，则由全概率公式知 P(A)=P(AIB)P(B)+P(AB)P(B)+P(AIB:)P(B:) 1 -品×+品×号= 22.18某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他意地拔号，求他 -音·得+品+品得 - 姿号不超过三次而装遵所需电话的概率，若已知最后一个数字是奇数，那么此 250设一人群中有37.5%的人血型为A型，20.9%为B型，33.7为为 概率是多少？ O型，7.9%为AB型，已知能允许输血的血型配对如下表，珑在在人群中任选一 解法1 设一“第次接通电话”(=1,2,3)，A一“拨号不超过3次接 人为血者，再任选一人为需要输血者，阿输血阻成功的概率是多少？ 通所需电话”，则A一A:U石A:U瓦AA,故所求概率 P(A)P(A)+P(AiA:)+P(Ai A,) 受血者 血者A型B型AB型O型 -品+是×号+品×8×是-高 AB型 解法2“拨号不超过3次就接通”的对立事件是“竣号3次都未接通”，于 0型 是 P(A)=1-P(不)-1-P(A) √：允许输血 ×:不允许输血 =1-P(不)P(不引)P(引本A) -1-品×8×日=品 设A,AA,A4分别为A,B,O,AB型输血，B,B,B,B,分别为 A,B,AB,O敌受血，则 设B一“已知最后一个数字悬奇数，不超过3次我通”，划 P(输血成功)-P(A1UAUA,UA)n(B1UB:UBUB,) P(B)=1-P(-1-号×是×号=是 =P(ABU.UA1B4UAB,U.UA:B:UAB1U 23°0授中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一 UAB,UA,B1U.UA,B,) 球，每人取一球后不再放回授中，同第一人，第二人，.后一人取得红球的 -P(A:B)+P(A B)+P(A:B:)+P(A:B)+ 概率各是多少？ P(A B)+P(A B)+P(A B)+P(A0 解此事件可归结为10个人排好位置，把10个球排好后每人分一个，所 =P(A)·P(B)+P(A)·P(B,)+P(A:)·P(B)+ 以红球在每个位置等可能地出魂，都为 P(A:)·P(B)+P(A)·P(B)+P(A)·P(B)+ P(A)·P(B)+P(A)=61.98% 分段提示第2419(1)一第3734题，用全概率公式、贝叶斯公式、事 0.20某种产品的商标为“MAXAM”,其中有2个字母脱落，有人捡起随 件的玻立性、解“全”与“贝”题，对“划分”婴有灵敏的感觉“独”可由实际本身 意放回，求放回后仍为“MAXAM"的概率， 判断，本压记忆，“职的摄一框的积”， 解字母股落2个共有五种情况，税下"M,X”或“A,X”成“M,A”或“A, 24°19(1)设有甲，乙两授，甲袋中装有：只白球、m只红球，乙袋中装有 N只白球、M只红球，今从甲授中任意取一只球放入乙授中，再从乙楼中任意取 A"或“M,M"分别用A1,A,A,A4,A,表示，则A,一12,5构成分：设且 =“放曰结果正晚”， 一只球，问取到白球的率是多少？ 脱落的基本事件总敷为C一10， 要点从题中“嗅出”刻分，把“全”公式写出来，剩下就前单了。 解(1)设B1=“从甲按中取到白球”，B一“从甲袋中取得红球“，则B P(A)=P(A)-0P(A)-P(A)P(As)=1

16 线性代数·复变函数·展率统计习通全解（下卧）物 第一章率论的基本之·习题全解 17 P(Bla)-d=12,3,P(B1A)=1i=4.5 0.98×号 由全版率公式P(B-2P(A)P(BA) 00x音+a1x子~器 29.24有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品：第二箱 -是×（品+品+）+1×（品+）-号 装30只，其中18只一等品，今从两箱中任桃出一箱，格后从该箱中致零件两次， 26°21已知男人中有5%是色直患者，女人中有0.25%是色官患者，今 每次任取一只，作不放目抽样，试求(1)第一次取到的零件是一等品的氯率：(2) 从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲惠者，问此人是男性的 第一次取到的学件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概半， 图率县多巾 解设B=“零件取白第4箱“，/一1,2： 要点“条件互倒”联想“见”：公式右边一中转/全：抓住刻分：死记贝叶 A=“第j次取出一等品”=12 斯公式不如章塑其推导过程 (1)求P(A)=? 设A一“色盲患者“，B=“男性”，则五=“女性”，B与B为划分，由贝 B1构成划分，由金餐率公式有 P(A)-P(A:IB)P(B)+P(A:B:)P(B:) =(10/50)×1/2)+(18/30)×(1/2)=2/E =a5×Q5+05义0.0z5-器 (2)求P(A:A)=? 0.22一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为P,若 PCA:lA)-Pf 第一次及格，则第二次及格的率也为P若第一次不及格，则第二次及格的复 率为/2.(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概 由(1)知：P(A)-，以下求P(AA)= 率，(2)若已知他第二次已轻及格，求他第一次及格的餐率。 B1,B构成划分，由全版率公式有 解没A一第次及络”，广三12 P(AA:)=P(AA:IBi)P(B:)+P(AA:IB:)P(B:) =[(10/50)×(9/49)]×1/2)+[18/30)×(17/29)]×(1/2) =0.19423 (1DP(AA:U④A:UA:A) =P(A)P(A:IA)+P(Ai)P(A:I )P(A)P(A) 于是Pa)-P=092=0486 28.25某人下午5：00下班，他所积熏的资料表明 =p·p+1-p)·号+p(1-p)-号p-号 到家时网5n35~539540-5445145-54495:30-5454迟于554 2PAlA)-PAPA+PCAP(A:l A而 P(ADP(A:Ap) a10 a25 a15 0.05 P。户 乘人车到 家的框率 a36 a35 20 a10 0.05 其中P(A)-P(AS)-P(A(AUA)=PCAA)+P(A,A:) =P(A)P(A:IA)+PC)P(A:IA) 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，试求他 27心23将两信息分别编码为A和B传通出去，接收站收到时，A被误收 是乘地铁回家的餐半。 做B的服率为0.02.而面B被误收做A的餐率为0.01，信息A与信息B传送的频 解设B1一“乘地铁回家“，B1=“乘汽车回家”，A=“5145一549回 装程度为2：1，若楼收站收到的信息是A,问原发信息是A的景率是多少？ 家.B,UB-S,BnB=，BB为划分.然硬币→P(B)=P() 解投B1=“发出信息A”.B=“发出信息B”,A=“收到信息为A”,则 0.5,由贝叶紧公式知 B,UB=S,B,B:=②，B,B为划分，由贝叶断公式 P()-F((B PAIB)·P(B P,A)=PA-+PAP(面 =0.45x0.5+0.2×0.5-

18 找性代数·复变函数·复率统计习避全解（下哥）像 意第一章 率论的基本念·习全解 19 026(1)设有4个独立工作的元件1.23,4.它们的可靠性分别为P1: 3127如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以份 P1·产P,将它们按图1-2(a)的方式联接（称为并审联系统）： 用两个或多个开关并联以改著可推性，在C发生时这些开关每一个都应闭合， (2)设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5，它们的可靠性均为P,将它们按图 且若至少一个开关闭合了，报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每 12(b)的方式联接（称为桥式系统）试分别求这两个系统的可靠性 个具有0.6的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性 (即电路闭合的概率)是多少？如果需要有一个可靠性至少为09999的系统，则 至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭食与否都是相互独立的， 要点轴立→“积的概=额的积” 解设A一“在慎况C发生时，第：只开关闭合”一1,2,3，当= 2时，系统的可富性为 p=P(A:U A:)P(A)P(A:)-P(A:A:) 图1-2 -P(A)+P(A)-P(A)P(A:) 要点可靠性即系统正常工作的可能性 -0.96+0.96-(0.96)2=0.9984 解(1)设A一“元件i正湾工作“，i一1,2,3,4，该并申联系统的可靠性， 也可以 P=1-P(AA)=1-P(不)P(A) 即P(A(AaA,UA)=P(A)·P(AAUA,) -1-(1-0.96)(1-0.96)-0,998 P(A).[P(A:A)+P(A)-P(A:AA)] 设m只开关并联，可保匠系统的可靠性至少为0.9999.则 p=1-P(AA-五)≥0.9999 PICPIPs+P-PiPiP] =PmP十P1一P的P 1~ (0.04)”≥0.9999.(0.0410- (2)设A=“元件4正霄工作”1=1,2,3,4.5，该桥式系统的可靠性为 >0.4*2.86 P(AIA:U A,U AAAs U A:AiA) 故至少需要3只开关并联，才能使系统的可靠性至少为0.9999 =P(AA:)+P(AA)+P(AAA:)+P(A:AA)-P(AA:AAs)- 32⊙0如图1-3,1,2,3,4,5表示鞋电得 P(AA:AA)-P(AAAA)-P(AAAAs)-P(A:AAA:)- 按点.假设每一维电器接点闭合的概事为P P(AIA:AAA)+P(AAAAA)F P(AIA:AAM:)+ 且设各继电器接点闭合与否相互独立，求L日 P(AA:AAA:)+P(AA:AAA)-P(AA:AAA) 至R是通路的概率。 4 =22+2p1-5p*+2 解设A=“L至R为通路”，A.=“第 1个继电器闭合”=1.2,34,5). 图1-3 30.0设有四张卡片分别标以数字1,23,4，今任取一张，投事件A为取 到1或2，事件B为取到1或3，事件C为取到1或4.试验证 ()继电器3断开，即A发生时，A=不(A1A:UA,A) P(AB)P(A)P(B).P(BC)-P(B)P(C).P(CA)P(C)P(A). P(A,(AA:U AA))=P(A)[P(AA:)+P(AA3)-P(AA:AA3)] P(ABC)P(A)P(B)P(C). =(1-P)(22-P4) 要点A.B,C两两独立A,B、C独立 (2)维电器3闭合，即A发生时.A一A,(A:UA)(A,UA) 解P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(C)-1/2 P(A(A U A)(A:UA3))-P(A)P(A:UAP(A:U As) P(AB)-P(r -1)-1/4=P(A)P(B) -P(P+) P(BC)-P(x-1)-1/4-P(B)P(C) 质以P(A)-(1-p)(2p2-p)+p(2p-p2) P(CA)=P(=1)=1/4=P(C)P(A) =21十2p3一5p1+23 P(ABC)-P(x-1)-1/4,P(A)P(B)P(C)=1/8 33.2塔三人致立地译一份密码，已知各人帽译出的概常分别为1/5， 所以 1/4=P(ABC)P(A)P(B)P(C)-1/8 1/3,1/4.同三人中至少有一人能将此密码译出的减率是多少？

20 线性代数·复变函数·概率统计习题全解（下册）家 第一章 概率论的基本念·习题全解 21 罢点“至少”→对立事件。 -（2/5)3+(2/5)1+(1/5)1=17/125 解 三人能否得出相互独立，则三人都译不出的概率为 (4)投D一“这3个电话打的不相同的人”，在某一时间段打进3个电话，是 (1-1/5)(1-1/3)(1一1/5)-04，至少个择出的概率为1-0.4=0.6. 有瓶序的，则所求率为 0.29设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球，第二只意子中 P(D)=(2/5)×(2/5)×(1/5)+(2/5)×(1/5)×(2/5)+ 装有2只蓝球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两只盒子中各取一只球 (2/5)×(2/5)×(1/5)+(2/5)×(1/5)×(2/5)+ (1)求至少有一只蓝球的概常：(2)求有一只蓝球一只白球的概率， (1/5)×(2/5)×(2/5)+(1/5)×(2/5)×(2/5) (3)已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的摄率， =6×(4/125)-24/125 解设AA:A分别表示在第一只盒子中取到蓝球绿球、白球B,B: (5)此小题是求3个电话都打给B的条件下，而B却都不在的条件展率，设 B,分别表示在第二只盒子中取到的盛球，绿球，白球。 E=“B都不在”，事件C,同(3)，则所求条件概率为 (1)P(A:UB)P(A)+P(B)-P(AB) P(EC)-P(E)-(1/4)1-1/64 =3/7+2/9-3/7×2/9-35/63=5/9 34⊙3】袋中装有两只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的测面均印有因 (2)P(AB:U AB)=P(A B)+P(A;B) 徽)，在较中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国最，问这只硬币是正品 =3/7×4/9+2/7×2/9-16/63 的概率为多少？ 解设B1=“任取一只，为正品”，B一“任取一只，为次品”，A一“将取到 030A,B.C三人在同一办公室工作.房间里有一廊电话.据统计知，打 的硬币抛n次，全为国数”，以下求P(BA)一？ 给A,B.C的电话的领率分别为2/5,2/5,1/5.他们三人常因工作外出，A,B,C B,B:构成一个划分，可用贝叶断公式。 三人外出的展率分别为1/2,1/4,1/4.设三人的行动相互独立，求 (1)无人接电话的概率：(2)被呼叫人在办公室的报率。 PCA)-FAT 若某一时间段打进3个电话，求 (3)这3个电话打给问一个人的概率 (4)这3个电话打给不相同的人的概率： 032设一枚探水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2， (5)这3个电话都打给B,而B却都不在的领率， 击不中的展率为1/6，并投击伤两次也会导致潜水艇下沉.求释4枚深水炸 解设A=“第i人被呼叫”，-1,2,3分别对应A,B,C,设B;=“第) 能击沉潜水艇的概率，（提示：先求出击不汽的展率，） 人在办公室"，1=1,2,3分别对应A.B.C,则 解设A一“释救4枚炸弹，击沉潜水艇”，B=“释故4枚炸弹，均未击中 P(A)=2/5.P(A:)-2/5,P(A)-1/5 潜水艇，C一“释放4枚炸弹，恰有一枝击伤潜水”，则ABUC P(E)-1/2,P(B)=1/4,P(B)=1/4 由魏立性有P(B)=(1/6)·,P(C)=C!·(1/2)(1/6)1 P(B)=1/2.P(B)=3/A.P(B)-3/4 P(A)=1-P(A)=1-P(BUC)-1-P(B)-P(C) (1)无人接电话表明三人都外出了，所求概率为 =1-（1/6)·-C·(1/2)(1/6)=1283/1296 P(B,B,B)=P(B)P(瓦)P(B)-(1/2)×(1/4)×1/4)=1/32 35⊙0甲，乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4： (2) P(A B,U A:B:UAB)=P(A:B)+P(A:B:)+P(ABs) 0.5,0,7.飞机被一人击中而被击落的展率为02，被两人击中而被击落的低水 P(A)P(B)+P(A:)P(B:)+P(A)P(B) 为Q6,或三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的摄常， -(2/5)×(1/2)+(2/5)×(3/4)+(1/5)×(3/a)-13/20 解令A一“飞机被1人击中”一1,2,3，则 (3)设C一“3个电函都打给第4人“，=1,2,3分别对应A.B,C.所求瓶 A一A,不之m+不，A2不病+不，不2A辆 率为P(CUC2UC)-P(C)+P(C)+P(C) A:-AAz万+A,不A+A,AzA =[P(A)P+[P(A)P+[P(A)] A=AgA之A

22 线性代数·复变函数·概率统计习题全解（下册） 其中，A,表示被甲击中，A,表示设有被甲击中，依次类推，则有 P(A)P(A Az An)+P(A Az An)+P(A Az Ax)=0.36 P(A)=P(AAz万)+P(A万zA)+P(,AzA)=0.41 P(A)=P(A甲AzAw)-Q.14 第二章 随机变量及其分布 再令A一“飞机被击落”，则由全概率公式得 P(A)=P(AIA)P(A)+P(ALA:)P(A:)+P(AIA)P(A) =0.2×0.36+0.6×0.41+0.14×1=0.458 “人的是了不起的，只要专注干莱二率业二定会薇出使自已 36.33投根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损杯的情况 感到吃惊的成绩米。 共有三种：损坏2%（这一事件记为A1),损坏10%（事件A:,损坏90%（事件 A).且知P(A)-0.8,P(A)-0.15.P(A)=0.05.现在从已被运输的物品 马克·吐沮 中随机地取3件，发现这3件都是好的（这一事件记为B).试求P(A,|B), P(A:B),P(AlB)(这里设物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为 商导学 好品的概率)。 要点由0.8十0.15+005=1，联想到A1,A:,A,为划分. 引微入概工程之一维篇 解验正划分的两条1“A1UA:UA3-5:2A1·A:一，A·A-, 人们不可能仅仅阀足于只用排列姐合和加诚乘除来计算概率，而这正是第 4·A,一可，由贝叶断公式 一章的局限所在，本章成功地实现了两大“空间站”：《概率论》与《微积分》的大 PCAI)RTAD RAFAFA) 对接随着求导、求积分等工具的介人《概率论》发生了脱胎换骨的大变化。 本章引进了一元微机分，下章将引进多元微积分，第二、三章的主题：引《微 (1一2%)1·0.8 -1-2%·0.8+1-10%·0,15+(1-90%)·0.05 积分》的水”来解《概率统计》的“渴”一简称引微入概工程. ✉0.8731 本章从1介绍随机变量.到§4出现了《微积分》的帮本公式，F(x) 同样可求 P(A:|B)≈0.1268，P(AlB)s5.798×10- F()=广fx)d及F"()-fx),"红旗集”通水了 37⊙34将A,B,C三个字母之一输入信道，输出为原学母的展率为a,而 这一杰出工作的完成，以人幻认识到随机变量这一概念为前摄条件。当S 输出为其他一字母的概率都是(1-)/2.今将字母申AAAA,BBBB,CCCC之 一输入信道，输入AAAA,BBBB,CCCC的率分别为：，P,P(十P:+ 一（正，反}时，是（正）或反dx均亲无意义.于是人们试图用指定买敏来标识 一1)，已知输出为ABCA,问输人的是AAAA的概率是多少（设信道传输每个 样本点的方陆，使S与R相关联，终于找到了随机变量这个重要概念，陆机变量 学母的工作是相互独立的)？ 是现代疑率论中最重要的概念。 解设事件B1,B,B分别为输人AAAA,BBBB,CCCC,面A为输出 随机变量的定义：由样本空S到实数集R的任一单值映射X=X(),均 ABCA,则B,B,B构成划分，由贝叶斯公式 可称作一个随机变量， P(AB)·P(B1) 只要符合定义，随机变量可以随意构造.由于事先不能确定5中一元素 PB,IAN-Pa·PBp+PABP(B)+PABD·PB万 一定出现.因而电不能事先确定X一X()一定收哪个实数.但是，一且给定 个具体的随机变量X=X()后，这种对应关暴本身是确定的，不随机 2·A+2m+2 本学科从此守上了随机变量这双“红舞鞋”，此后再也设聪下来， 请关注下面的文字， -2A1+aO(P4+P=3a-0+1-。 用X表示事件的方法：用X的像集所对应的原像集表示事件.因为【X(: ∈L)二S,所以{elX()∈表示随机事件，即用X的值城中的点集L二R所 对应的定义中的点集eX(e)∈L)来表示事件将{eX(e)∈L)简记为(X