《数学建模与数学实验》教学教学资源（PPT课件）第6讲 非线性规划

数学建模与数学实验 非线性规划

数学建模与数学实验 非线性规划

实验目的 1.直观了解非线性规划的基本内容. 2.掌握用数学软件求解优化问题. 实验内容 1.非线性规划的基本理论. 2.用数学软件求解非线性规划. 3.钢管订购及运输优化模型. 4.实验作业

实验目的 实验内容 2． 掌握用数学软件求解优化问题． 1． 直观了解非线性规划的基本内容． 1．非线性规划的基本理论． 4．实验作业． 2． 用数学软件求解非线性规划． 3． 钢管订购及运输优化模型．

非线性规划 非线性规划的基本概念 *非线性规划的基本解法 返回

*非线性规划的基本解法 非线性规划的基本概念 非线性规划 返回

非现性规划的基本概念 定义如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数， 则最优化问题就叫做非线性规划问题： 一般形式： min f(X) [g(X)）20i=1,2,m sth,x)=0j=12.1 (1)》 其中X=(,2,",xnY∈R,千，8，h,是定义在Rn上的实值函 数，简记：f:R→R,g:R→R,h:R→R 其它情况：求目标函数的最大值，或约束条件小于等于零 两种情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式

定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数, 则最优化问题就叫做非线性规划问题． 非现性规划的基本概念 一般形式: （1） 其中 ， 是定义在 R n 上的实值函 数，简记: min f (X ) gi hj f , , 其它情况: 求目标函数的最大值，或约束条件小于等于零 两种情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式． n 1 j n 1 i n 1 f : R → R , g : R → R , h : R → R ( ) T n X = x1 , x2 ,L, xn  R ( )  ( )     = =  = 0 1,2,., . 0 1,2,., m; . . h X j l g X i st j i

定义1 把满足问题(1)中条件的解X(∈R”)称为可行解（或可行 点)，所有可行点的集合称为可行集（或可行域）·记为D.即 D=X1g,X)≥0，h,K)=0,X∈R”问题(1)可简记为mmf(x 定义2对于问题(1)，设X*∈D,若存在δ>0，使得对一切 X∈D,且x-x<6,都有fx)sfx),则称是f0在D上的 局部极小值点（同部最优解）·特别地，当X≠X*时，若 fx)<f(X),则称X*是fX)在D上的严格局部极小值点（严格局部最 优解). 定义3对于间题(1)，设XeD,若对任意的x∈D,都有f()sf) 则称X*是)在D上的全局极小值点（全局最优解） .特别地，当 X≠X时，若x)<fX),则称X*是fX)在D上的严格全局极小值 点（严格全局最优解). 返回

定义1 把满足问题（1）中条件的解 称为可行解（或可行 点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即 问题(1)可简记为 f (X )． XD min 定义2 对于问题(1),设 ,若存在 ,使得对一切 ,且 ,都有 ,则称X *是f(X)在D上的 局部极小值点（局部最优解）．特别地,当 时，若 ,则称X *是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最 优解）． X  D *   0 X D −   * X X * X  X f(X )  f (X ) * f(X )  f (X ) * 定义3 对于问题(1),设 ,若对任意的 ,都有 则称X *是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地,当 时，若 ,则称X *是f(X)在D上的严格全局极小值 点（严格全局最优解）． X  D * X D * X  X f(X )  f (X ) * 返回 ( ) n X  R D = {X| gi (X ) 0, hj (X )= 0, X  R n} ( ) (X ), f X  f *

非线性规划的基本解法 SUTM外点法 1.罚函数法 SUTM内点法（障碍罚函数法） 2。近似规划法 返回

非线性规划的基本解法 SUTM外点法 SUTM内点法（障碍罚函数法） 1． 罚函数法 2． 近似规划法 返回

罚函数法 罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题， 进而用无约束最优化方法去求解.这类方法 称为序列无约束最小化方法.简称为SUMT 法. 其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点 法

罚函数法 罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题， 进而用无约束最优化方法去求解．这类方法 称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT 法． 其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点 法．

SUTM外点法 对一般的非线性规划： minf(X) 8,(X)≥0 i=1,2,m; S.t. h(X）)=0j=1,2,1 (1) 可设：7x,M)=fx)+M∑Imm0,g(x+M∑b,(x 2(2) 将问题①)转化为无约束问题：minT(X,M) (3) X∈Rn 其中T(X,M0称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项， 这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚：X∈D时，满足 各g(X)≥0，h,(X)=0，故罚项为0，不受惩罚.当X廷D时，必 有约束条件g(X)<0或h,(X)≠0，故罚项大于0，要受惩罚

( , ) ( ) min (0, ( ))  ( ) (2) 1 2 1 2   = = = + + l j j m i 可设：T X M f X M gi X M h X ( ) R 1 min , (3) n X T X M  将问题（）转化为无约束问题： 其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项， 这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:当 时，满足 各 ，故罚项为0，不受惩罚．当 时,必 有约束条件 ，故罚项大于0，要受惩罚． X D gi (X)  0,hi (X) = 0 X  D gi (X )  0或hi (X )  0 SUTM外点法 ( ) ( ) ( ) min 0 1,2,., ; s.t. (1) 0 1,2,., . i j f X g X i m h X j l   =   = =  对一般的非线性规划：

SUTM外点法（罚函数法）的迭代步骤 1.任意给定初始点心，取M>1,给定允许误差ε>0，令=1： 2.求无约束极值问题minT(X,M)的最优解，设X=X(M),即 minT(X,M)=T(): 3.若存在0sism,使-8r)小6，则取MMM1=Ma=1o), 令k=k+1返回(2)，否则，停止迭代.得最优解X≈Xk· 计算时也可将收敛性判别准则-gx)s改为M [min0,g,(x)P≤0。 罚函数法的缺点：每个近似最优解往往不是容许解，而 只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用；在 解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着M的增大， 可能导致错误

罚函数法的缺点：每个近似最优解X k往往不是容许解，而 只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用；在 解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着Mk的增大， 可能导致错误． 1．任意给定初始点 X 0，取M1>1，给定允许误差 ，令k=1； 2．求无约束极值问题 的最优解，设X k=X(Mk)，即 ； 3．若存在 ，使 ,则取Mk>M( ), 令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 ． 计算时也可将收敛性判别准则 改为 ．   0 ( ) R min , n X T X M  ( ) R min , ( , ) n k k X T X M T X M  = i(1  i  m) − ( )   k gi X Mk+1 = M, =10 min(0, ( )) 0 1 2   = m i M gi X k X  X * − ( )   k gi X SUTM外点法(罚函数法)的迭代步骤

SUTM内点法（障碍函数法) minf(X) 考虑问题： (1) st.g,(X)≥0i=1,2,m 设集合D°={X|g,（X)>0,i=1,2.,m}≠，D°是 可行域中所有严格内点的集合： 构造障碍函数 (x,）.x,)fx)+21ng,(x)或1x,=fx)+r2, g,) 共称芝如)意名切为。内你因子 这样问题(1)就转化为求一系列极值问题： min1(X,r)得X(r)

( ) ( ) min (1) s.t. 0 1, 2,., i f X g X i m  =    考虑问题： { ( ) } 0 0 | 0, 1, 2, , D X g X i m D i 设集合 =  =  ， 是 可行域中所有严格内点的集合. ( ) 0 1 min , k k k X D I X r X r  这样问题（）就转化为求一系列极值问题： 得 （ ）. SUTM内点法（障碍函数法） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 其中称 或 为障碍项， 为障碍因子. ： 或 构造障碍函数 r g X r g X r g X I X r I X r f X r g X I X r f X r m i i m i i m i i m i i     = = = = = + = + 1 1 1 1 1 ln 1 , , ln ( , ) ( )