《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿，浙大版）第四章 随机变量的数字特征 4.4 矩与协方差矩阵

第四节矩与协方差矩阵 一、矩的定义 二、协方差矩阵的定义 三、n维正态变量的概率密度 四、n维正态变量的性质

第四节 矩与协方差矩阵 一、矩的定义 二、协方差矩阵的定义 三、 n维正态变量的概率密度 四、 n维正态变量的性质

一、矩的定义 设(X,Y)是二维随机变量」 X的k阶原点矩：E(X)k=1,2,3,.记作：4k=E(X) X的k阶中心矩：E{IX-E(X)},k=2,3, X和Y的k+l阶混合矩：E(X*Y),k,l=1,2, X和Y的k+I阶混合中心矩： E{X-E(X)]Y-E(Y)},k,l=1,2,. 说明：E(X)是X的一阶原点矩；D(X)是X的二阶中心矩； Cov(X,Y)是X与Y的二阶混合中心矩！ 在实际应用中，高于4阶的矩很少使用

一、矩的定义 设 ( ) X Y, 是二维随机变量. X k 的 阶原点矩： ( ) 1 2,3, k E X k ， = ， {[ ( )] }, 2,3, k X k 的 阶中心矩： E X E X k − = ( ), , 1,2, k l X Y k l 和 的 + 阶混合矩： E X Y k l = {[ ( )] [ ( )] }, , 1,2, k l E X E X Y E Y k l − − = X Y k l 和 的 + 阶混合中心矩： ( ) ( ) Cov , ( ) E X X D X X X Y X Y 是 的一阶原点矩； 是 的二阶中心矩； 是 与 的二阶混合中心矩. 说明： 在实际应用中，高于4 . 阶的矩很少使用 ( ). k 记作：k = E X

二、协方差矩阵的定义 定义二维随机变量(X1,X2)的二阶中心矩都存在，记为 G=E[X,-E(X c2=E{X-E(X)][X2-E(X2]} c1=E{[X2-E(X2IX-E(X)]}=c2 c2=E[x,-EX,]'} 则称C一 为(X,X2)的协方差矩阵。 C是对称矩阵

则称 C=       21 22 11 12 c c c c 为（X1，X2）的协方差矩阵。 二、协方差矩阵的定义 定 义 二维随机变量（X1,X2） 的二阶中心矩都存 在，记为   2 11 1 1 c E X E X = −   ( )   c E X E X X E X 12 1 1 2 2 = − −         ( ) ( )  c E X E X X E X c 21 2 2 1 1 12 = − − =         ( ) ( )    2 22 2 2 c E X E X = −   ( )   —— C 是对称矩阵

定义设n维随机变量(X1,X2,Xn)的二阶混合中心矩 Ci Cov(XiX)=E(IX;-E(X)X-E(X)l,i,j=1,2,.,n 都存在，则称矩阵 C12.C1n C= C21 c2.C2n Cnn 为n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的协方差矩阵. 注：c=Cov(X,X)=Cov(X,X)=C 一C是对称矩阵

1 2 定义 设 n X X X 维随机变量( , , , ) n 的二阶混合中心矩 Cov( , ) {[ ( )][ ( )] , 1,2, , , ij i j i i j j c X X E X E X X E X i j n = = − − = ， 都存在 则称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn c c c c c c C c c c     =         1 2 ( , , , ) . 为n X X X 维随机变量 n 的协方差矩阵 —— C 是对称矩阵. 注： Cov( , ) ij i j c X X = = Cov( , )= X X c j i ji

补例设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为 fn=9r2+0s<l0<<2 0, 其它 求(X,Y)的协方差矩阵. D(X)= D()= 147 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=- 147 (X,Y)的协方差矩阵为 23 1 490 147 1 46 147

2 ( , ) 6 1 ( ), 0 1, 0 2, ( , ) 7 2 0, ( , ) . 设二维连续型随机变量 的联合密度函数为 其 补例 协方差矩 它 求 的 阵 X Y x xy x y f x y X Y   +     =    ( , ) X Y 的协方差矩阵为 23 1 490 147 . 1 46 147 147   −       −   2 39 5 23 ( ) , 70 7 490 D X   = − =     2 34 8 46 ( ) , 21 7 147 D Y   = − =     Cov( , ) ( ) ( ( 4 ) 1 1 7 X Y E XY E X E Y = − ) = −

三、n维正态变量的概率密度 矩阵形式 n维正态随机变量(X,X)的概率密度 f-adm2a-a7c- X E(X) 其中x= X2 2 E(X2) M= X E(X) C为(X1,X2,.,X)的协方差矩阵

1 1 2 1 2 1 1 ( , , ) exp ( ) ( ) . ( 2π) (det ) 2 T n n f x x x μ C x μ C   − = − −   −     1 n X X 维正态随机变量 ( , , ) n 的概率密度 三、n 维正态变量的概率密度 1 2 其中 , n x x x x       =       1 1 2 2 ( ) ( ) = ( ) ， n n μ E X μ E X μ μ E X             =             1 2 为( , , , )的协方差矩阵. C X X Xn ——矩阵形式

Ga-C- 以二维随机变量(X,X2)为例. 引入x= -Pc102 -mce-=a-万a-asa -po02）x1-41 -, 0102 )andeora-nrcu-m =n-

1 2 以二维随机变量 ( , ) . X X 为例 引入 1 2 , x x x   =     1 2 . μ μ μ   =     2 1 1 2 2 1 2 2 , σ ρσ σ C ρσ σ σ   =     2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 . (1 ) σ ρσ σ C σ σ ρ ρσ σ σ −   − =   −   − 1 1 2 1 2 1 1 ( , , ) exp ( ) ( ) . ( 2π) (det ) 2 T n n f x x x μ C x μ C   − = − −   −     1 ( ) ( ) T x μ C x μ − − − = 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( )( ) ( ) 2 . 1 x μ x μ x μ x μ ρ ρ σ σ σ σ   − − − − = − +   −   2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( , ) (1 ) σ ρσ σ x μ x μ x μ σ σ ρ ρσ σ σ x μ   −   − − −    − −   −   1 1 2 2 2 1 2 1 1 ( , ) exp ( ) ( ) . ( 2π) (det ) 2 T f x x x μ C x μ C   − = − − −     2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( )( ) ( ) exp 2 . 2π 1 2(1 ) x μ x μ x μ x μ ρ σ σ ρ ρ σ σ σ σ     −   − − − − =  − +     −     −  

四、n维正态变量的性质 n维正态变量的性质定理： 1°n维正态变量(X1,X2,.,Xn)中的每一个分量 X,i=1,2,.,n都是正态变量。 反之，若X1,X2,X都是正态变量且相互独立， 则(X1,X2,Xn)是n维正态变量。 2°(X1,X2,Xn)服从正态分布的充分必要条件 是X1,X2,X,的任一线性组合 lX1+l2X2+.+1nXn（其中l1,l2,ln不全为零) 都服从一维正态分布

n 维正态变量的性质定理： 2 o ( , , , ) X1 X2  Xn 服从正态分布的充分必要条件 是X X Xn , , , 1 2  的任一线性组合 nXn l X + l X ++ l 1 1 2 2 （其中 n l ,l , ,l 1 2  不全为零） 都服从一维正态分布。 1 o n 维正态变量( , , , ) X1 X2  Xn 中的每一个分量 Xi ,i = 1, 2,,n都是正态变量。 反之，若X X Xn , , , 1 2  都是正态变量且相互独立， 则( , , , ) X1 X2  Xn 是 n 维正态变量。 四、 n 维正态变量的性质

补例设X,Y独立，X~N(1,4),Y~N(2,9),求2X-Y的分布 解：X~N1,4),Y~N(2,9),X,Y独立， 由1°知(X,Y)是二维正态变量， 再由2知，2X-Y服从一维正态分布， 由于E(2X-Y=2E(X)-E(Y)=0 D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)=4×4+9=25 则2X-Y~N(0,25)

补例 解： 设 X Y X N Y N , ~ (1,4), ~ (2,9), 独立， 求 2X Y− 的分布. 由于 E X Y E X E Y ( 2 ) 2 ( ) ( ) 0 − = − = D X Y D X D Y ( 2 ) 4 ( ) ( ) 4 4 9 25 − = + =  + = 则 2 ~ (0,25) X Y N − 0 由1 知 ( , ) X Y 是二维正态变量, X N Y N X Y ~ (1, 4), ~ (2,9), , 独立， 0 再由2 知， 2 , X Y− 服从一维正态分布

补例(X,Y)~NL,2,4,9,0.5),求2X-Y的分布 解：E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=0 D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)+2Cov(2X,-Y) -4D(X)+D(Y)-2x2Cov(X,Y) =25-4 OxJDX DY=25-4×2×2×3=13 则2X-Y~N(0,13)

解： ( , ) ~ (1,2 4,9 0.5) , X Y N ， ， 求 2X Y− 的分布. D X Y D X D Y ov X Y (2 ) 4 ( ) ( ) 2C (2 , ) − = + + − = + −  4 ( ) ( ) 2 2C ( , ) D X D Y ov X Y 则 2 ~ (0,13) X Y N − 1 25 4 25 4 2 3 13 2 = − = −    =  XY DX DY E X Y E X E Y ( 2 ) 2 ( ) ( ) 0 − = − = 补例