《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿，浙大版）第三章 多维随机变量及其分布 3.2 边缘分布

第二节边缘分布 一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布密度 重点： 边缘分布的定义、性质、计算 (边缘分布函数、边缘分布律、边缘分布密度)

二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布密度 一、边缘分布函数 重点: 边缘分布的定义、性质、计算 （边缘分布函数、边缘分布律、边缘分布密度） 第二节 边缘分布

一、边缘分布函数 问题：已知(X,Y)的分布，如何确定X,Y的分布？ 0 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}, Fx)=P{X≤x=P{X≤x,Y<o}/F(x,o)=Fxe (X,Y)关于X的边缘分布函数

一、边缘分布函数 F x y P X x Y y ( , ) { , } , =   =    P X x Y { , } =  F x( , ) ( ) = F x X ( , ) . X Y X 关于 的边缘分布函数 问题：已知( , ) , , ? X Y X Y 的分布 如何确定 的分布 F x P X x ( ) { } = 

定义设二维随机变量X,)的分布函数为F,y),则 Fx(x)=P{X≤x}=PX≤x,Y<o}=F(x,o) 称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数， Fy)=P{Y≤y}=P{X<o,Y≤y}=F(oo,y) 称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数， Fx(x)=lim F(x,y)=F(x,co) Fy(y)=lim F(x,y)=F(co,y)

( ) { } { , } ( , ) F y P Y y P X Y y F y Y =  =    =  称为二维随机变量（X，Y）关于Y 的边缘分布函数. 定义 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x, y)，则 ( ) { } { , } ( , ) F x P X x P X x Y F x X =  =    =  称为二维随机变量（X，Y）关于X 的边缘分布函数， ( ) lim ( , ) ( , ) X y F x F x y F x → 即 = =  ( ) lim ( , ) ( , ) Y x F y F x y F y → = = 

维离散型 X的分布律为P{X=x}=P,i=1,2, 随机变量 分布函数为 Fx)=PX≤x=∑p x:≤x 二、离散型随机变量的边缘分布 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为 P(X=xi,Y=yi)=Pi,i,j=1,2,. (X,Y)关于X的边缘分布函数为 Fx(x)=F(x,o)=∑∑P xi≤xj=1 > PX=x}=∑Pg=p,i=1,2,. 称p.(i=1,2,)为(X,Y)关于X的边缘分布律

二、离散型随机变量的边缘分布 { , } , , 1,2, P X x Y y p i j = = = = i j ij 设二维离散型随机变量（X，Y）的分布律为 { } 1,2,. P X x p i = = = i i ， ( ) { } i i x x F x P X x p  =  =  1 ( ) ( , ) i X ij x x j F x F x p   = =  =   1 { } , 1,2, , i ij i j P X x p p i  = = = = =  ( 1,2, ) ( , ) . i 称 p i X Y = 为 关于 X 的边缘分布律 一维离散型 随机变量 X 的分布律为 分布函数为 (X,Y)关于X的边缘分布函数为

类似地，设二维离散型随机变量（X,Y)的联合分布律为 P(X=xi,Y=y)=P,i,j=1,2,. F)=F(o,y)=∑∑P (关于Y的边缘分布函数) yisy i=1 PY=}=∑P=pj=1,2,. 称P.(j=1,2,)为(X,Y)关于Y的边缘分布律

(关于Y 的边缘分布函数) 类似地，设二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布律为 { , } , , 1,2, P X x Y y p i j = = = = i j ij 1 ( ) ( , ) j Y ij y y i F y F y p   = =  =   1 { } , 1,2, , j ij j i P Y y p p j  = = = = =  ( 1,2, ) ( , ) . 称 p j X Y j = 为 关于Y 的边缘分布律

定义：设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P{X=x,Y=yj}=P,i,j=1,2,. 记p.=2P=PX=x,i=1,2 1= p,=∑P=PY=y,j=1,2,. 分别称p.(i=1,2,)和p.(0=1,2,)为 (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律. XX1X2.xk. Yy1y2.yk Pxpp.pa. PkD1D.2.Dk

定义： 设二维离散型随机变量( , ) X Y 的联合分布律为 ( 1,2, ) ( 1,2 ( ) ) , . , i j p X Y X i p j Y • • = = 关于 和关于 的边缘 别称 和 为 分布律 分 { , } , , 1,2, . P X x Y y p i j = = = = i j ij 1 { }, 1,2, , i ij i j p p P X x i  = 记 = = = =  1 { }, 1,2, , j ij j i p p P Y y j  = = = = =  k X p 1 2 k x x x 1 2 k p p p k Y p 1 2 k y y y 1 2 k p p p

七x2 .x y Pu P21 ：. P12P22 Pi Pj P2i P p.i PY=y,}=∑Pg i=1 P j=1,2,. PX==P i=1,2

X Y x x x 1 2 i j yyy21 p p p 11 21 1i p p p 12 22 2i    p p p 1 2 j j ij   pi . p.j 1 { } 1,2, . j ij i P Y y p j = = = =  1 { } 1,2, i ij j P X x p i = = = = 

补例.己知下列分布律求其边缘分布律 解 0 p.;=P(Y=y 12 2 4 0 42 + 42 7 6 3 1 42 Pi=P(X=x) 47 3 .(X,Y)关于X的边缘分布律 (X,Y)关于Y的边缘分布律 X 0 1 Y 0 1

+ X Y 0 1 12 42 12 42 12 42 6 42 { } i i p P X x • = = { } j j p P Y y • 解 = = + + 4 7 3 7 4 7 3 7 补例. 已知下列分布律求其边缘分布律. ( , ) X Y X 关于 的边缘分布律 ( , ) X Y Y 关于 的边缘分布律 0 1 k X p 0 1 k Y 4 p 7 3 7 0 1 4 7 3 7

维连续型 随机变量 X的分布函数为F田=PX≤=∫fx)dx 三、连续型随机变量的边缘分布 设二维连续型随机变量（X,Y)的概率密度为f化y) X,Y)关于的边缘分布函数为 F.w=F,o)-∫[fxdy] 一→代，关于x的边缘概率密度为人(d)=∫二fx,dy 同理 X,)关手y的边缘概率密度为，)=∫fx,y)dx

三、连续型随机变量的边缘分布 设二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度为 f (x,y) ( ) { } ( )d x F x P X x f x x − =  =  ( ) ( , ) ( , )d , x X F x F x dx f x y y  − −       =  ==   一维连续型 随机变量 X 的分布函数为 (X,Y)关于X的边缘分布函数为 (X,Y)关于X的边缘概率密度为 f x f x y y X ( ) ( , )d  − =  同理 ( ) ( , )d . Y f y f x y x  − =  (X,Y)关于 Y 的边缘概率密度为

例2.设随机变量X和Y具有联合概率密度 f(x,y)= 6,x2≤y≤x, ty 1,) 0,其它 求边缘概率密度∫x(x),fx(y) y=x y=x2 解人x(x)=∫fc,)d) 01 当x1时，fx(x)=∫fx,y)dy=0. 当0≤x≤1时，fx(x)=∫"fx,y)d=∫6山=6(x-x2) 46好人-收- 其它

2 6, , ( , ) 0, . ( ), ( 2 ). . X Y X Y x y x f x y f x f y    =   设随机变量 和 具有联合概率密度 其它 求边缘概率密度 例 解 f x f x y y X ( ) ( , )d  − =  6( ). 2 = x − x ( ) ( , )d 0. X f x f x y y  − = =  y x = 2 y x = O x y (1,1) 1 f x f x y y X ( ) ( , )d  − =  当 x x   0 1 , 或 时 当0 1 ,   x 时 2 6d x x = y  2 6( ), 0 1, ( ) 0, . X x x x f x  −   =   其它 因而得 x