《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）7-3 估计量的评选标准

第三节 估计量的评选标准 一、问题的提出 二、无偏性 三、有效性 四、相合性 五、小结

第三节 估计量的评选标准 一、问题的提出 二、无偏性 三、有效性 四、相合性 五、小结

问题的提出 从前一节可以看到，对于同一个参数，用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同，如第一 节的例4和例10.而且，很明显，原则上任何统计 量都可以作为未知参数的估计量 问题 ()对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好？ 2)评价估计量的标准是什么？ 下面介绍几个常用标准

一、问题的提出 从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同, 如第一 节的例4和例10. 而且, 很明显, 原则上任何统计 量都可以作为未知参数的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准

二、无偏性 若X1,X2,Xn为总体X的一个样本， B∈⊙是包含在总体X的分布中的待估参数 (®是0的取值范围) 若估计量0=0(X1,X2,Xn)的数学期望 E()存在，且对于任意0∈®有E()=0,则称 0是0的无偏估计量 无偏估计的实际意义：无系统误差

二、无偏性 若X1 ,X2 ,  ,Xn为总体X的一个样本，   是包含在总体X的分布中的待估参数, ( 是 的取值范围) . ˆ ) , ˆ ) , ( ˆ ( ( , , , ) ˆ 1 2 是 的无偏估计量 存 在 且对于任意 有 则 称 若估计量 的数学期望           = = E E X X  Xn 无偏估计的实际意义: 无系统误差

例1设总体X的k阶矩4：=E(X)(k≥1)存在， 又设X1,X2,Xn是X的一个样本，试证明不论 总体服从什么分布，k阶样本矩4=X是k n i=1 阶总体矩的无偏估计 证因为X1,X2,.,Xn与X同分布， 故有E(X)=E(X)=4k,i=1,2,n, 即E(A,)=1之E(X)=4

. 1 , , , , ( ) ( 1) , 1 1 2 阶总体矩 的无偏估计 总体服从什么分布 阶样本矩 是 又设 是 的一个样本，试证明不论 设总体 的 阶矩 存在 k ni k k i n k k X k n k A X X X X X k E X k   = = =   证 因为X1,X2 ,,Xn与 X同分布， ( ) ( ) k k 故有 E Xi = E X , i 1,2, ,n. = k =  = = ni k k E Xi n E A 1 ( ) 1 即 ( ) . =  k 例 1

故k阶样本矩A是k阶总体矩，的无偏估计 特别的： 不论总体X服从什么分布， 只要它的数学期望存在， 又总是总体X的数学期望山，=E(X)的无偏 估计量

故 阶样本矩 是 阶总体矩 的无偏估计. k Ak k k 特别的: . ( ) 1 估计量 X 总是总体 X 的数学期望  = E X 的无偏 不论总体 X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在

例2对于均值4，方差σ2>0都存在的总体，若 4,。2均为未知，则。的估计量62=之X,-X i-1 是有偏的（即不是无偏估计） 证62=1∑x-2=4-X2, 因为E(A2)=4=o2+42, 又因为EX)=DX)+IEX=g+, 所以E(62)=E(A,-X2)=E(A)-E(X2)

( ). ( ) 1 , , ˆ , 0 , 1 2 2 2 2 2 是有偏的 即不是无偏估计 均为未知 则 的估计量 对于均值 方差 都存在的总体 若 = = −  ni Xi X n       证 = = − ni Xi X n 1 2 1 2 2 ˆ , 2 = A 2 − X 2 2 因为 E(A ) =  , 2 2 =  +  2 2 又因为 E(X ) = D(X) +[E(X)] , 2 2  = + n ( ˆ ) ( ) 2 2 2 所以 E  = E A − X ( ) ( ) 2 = E A2 − E X 例 2

1-1.2≠o2,所以62是有偏的. = n 若以” 乘62，所得到的估计量就是无偏的， n-1 (这种方法称为无偏化)， ”n2E69= 因为=s产2X-X n-1 即S2是σ2的无偏估计，故通常取S2作σ的估计量

, 1 2 2    − = n n ˆ . 所以 2 是有偏的 ˆ , . 1 若以 乘 2 所得到的估计量就是无偏的 n − n (这种方法称为无偏化). ( ˆ ) . 1 ˆ 1 2 2 2   =  −  =      − E n n n n E 2 2 ˆ 1 S n n = − 因为  ( ), 1 1 1 2 = − − = n i Xi X n , 即 S 2是 2 的无偏估计 . 故通常取S 2作 2的估计量

例3设X1,X2,Xn是来自正态总体N(4,o2) 的样本，试求σ的无偏估计量 解由第六章第二节定理二知”S2~xn-), -r xn-1-1 2X2 dx 2r

. , , , ( , ) 2 2 1 2 的样本，试求 的无偏估计量 设 是来自正态总体  X X  Xn N   解 ~ ( 1), 1 2 2 2 − − S n n   由第六章第二节定理二知 x x n x n S E x n n e d 2 1 2 1 1 0 1 2 1 2 2  1 + − − − −       −  =      −   x x n x n n e d 2 1 2 1 0 1 2 2 2 1  + − − −       − =  , 2 1 2 2       −       = n n   例3

故S不是σ的无偏估计量， n- m-2 2 S是o的无偏估计量

, 2 1 2 1 2 ( )          −       − = n n n E S 故 S 不是 的无偏估计量, . 2 2 1 2 1 是 的无偏估计量   S n n n             − −

例4设总体X在0，上服从均匀分布，参数0>0， X1,X2,Xn是来自总体X的样本，试证明2X和 ,max(X1,X2,Xn)都是9的无偏估计. n+ 证 因为E2)=2E(X=2E(X0=2×=0, 8 所以2又是0的无偏估计量. 因为X6=max(X1,X2,Xm)的概率密度为 nx-1 f(x)= an, 0≤x≤0， 0, 其他

max( , , , ) . 1, , , 2 [0, ] , 0, 1 2 1 2 都是 的无偏估计 是来自总体 的样本，试证明 和 设总体 在 上服从均匀分布 参数    n n X X X nnX X X X X X   +  证 因为 E(2 X) = 2 E(X) = 2E(X) , 2 2   =  = 所以 2X 是  的无偏估计量. 因为 Xh = max( X1, X2 ,, Xn )的概率密度为    = − 0, 其他 , 0 , ( ) 1   x nx f x nn 例 4