《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）4-3 协方差及相关系数

第三节 协方差及相关系数 一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结

一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结 第三节 协方差及相关系数

一、协方差与相关系数的概念及性质 1.问题的提出 若随机变量X和Y相互独立那么 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 若随机变量X和Y不相互独立 D(X+Y)=? D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y) =D(X)+D(Y)+2EIX-E(X)JY-E(Y) 协方差

1. 问题的提出 若随机变量 X 和Y 相互独立,那么 D(X + Y ) = D(X) + D(Y ). 若随机变量 X 和Y 不相互独立 D(X + Y ) = ? 2 2 D(X + Y ) = E(X + Y ) − [E(X + Y )] = D(X) + D(Y ) + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}. 一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差

2.定义 量EIX-E(X)IY-E(Y)}称为随机变量 X与Y的协方差.记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)=EX-E()]Y-E(Y). 而 Cov(X,Y) PX灯= √D(X)VD(Y) 称为随机变量X与Y的相关系数

Cov( , ) {[ ( )][ ( )]}. . Cov( , ), {[ ( )][ ( )]} X Y E X E X Y E Y X Y X Y E X E X Y E Y = − − − − 与 的协方差 记为 即 量 称为随机变量 2. 定义 . ( ) ( ) Cov( , ) 称为随机变量 与 的相关系数 而 X Y D X D Y X Y ρXY  =

3.说明 ()X和Y的相关系数又称为标准锄方差，它是一 个无量纲的量 (2)若随机变量X和Y相互独立 COv(X,Y)=EX-E(XJY-E(Y) =EX-E(XJE[Y-E(Y) =0. (3)若随机变量X和Y相互独立 →D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2E{X-E(X)[Y-E(Y)} =D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)

 Cov(X,Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = E[X − E(X)]E[Y − E(Y )] = 0. (3) 若随机变量 X 和Y 相互独立 2 {[ ( )][ ( )]} ( ) ( ) ( ) E X E X Y E Y D X Y D X D Y + − −  + = + = D(X) + D(Y ). (2) 若随机变量 X 和Y 相互独立 = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ) 3. 说明 . (1) , 个无量纲的量 X 和Y 的相关系数又称为标准协方差 它是一

4.协方差的计算公式 (1)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y); (2)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cow(X,Y): 证明(1)Cov(X,Y)=E{IX-E(X)[Y-E(Y)} =E[XY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y) =E(XY)-2E(X)E(Y)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)

4. 协方差的计算公式 (1) Cov(X,Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ); (2) D(X +Y ) = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ). 证明 (1)Cov(X,Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = E[XY −YE(X) − XE(Y ) + E(X)E(Y )] = E(XY ) − E(X)E(Y ). = E(XY ) − 2E(X)E(Y ) + E(X)E(Y )

(2)D(X+Y)=E[(X+Y)-E(X+Y)J2} =E{I(X-E(X)+(Y-E(Y)I2)} =EX-E(X)+EY-E(Y) +2EX-E(XJY-E(Y)I =D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

(2) ( ) {[( ) ( )] } 2 D X + Y = E X + Y − E X + Y {[( ( )) ( ( )] } 2 = E X − E X + Y − E Y + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} {[ ( )] } {[ ( )] } 2 2 = E X − E X + E Y − E Y = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y )

5.性质 (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X); (2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b为常数； (3)Cov(X+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

5. 性质 (1) Cov(X,Y ) = Cov(Y, X); (2) Cov(aX,bY) = abCov(X,Y), a, b为常数; (3) Cov( , ) Cov( , ) Cov( , ). X1 + X2 Y = X1 Y + X2 Y

例1设(X,Y)~N(4,42,o,o,p试求X与Y的 相关系数 解由f(x,y)= 1 2πo1o2V1-p nn-pa,门 _(x-41)2 →fx(x)=厅 e 「√2元0 2m,-0<x<+o0, _（y-2)2 f(y)=2π02 2o ,-0<y<+o0

. ( , ) ~ ( , , , , ), 22 2 1 2 1 相关系数设 X Y N μ μ σ σ ρ 试求 X 与Y 的 解     − + − − − − −− − = 22 2 2 1 2 1 2 21 2 1 2 2 1 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2π 1 1 ( , ) σ y μ σ σ x μ y μ ρ σ x μ ρ σ σ ρ 由 f x y e , , 2π1 ( ) 21 2 1 2 ( ) 1  = −    + − − x σ f x σ x μ X e , . 2π1 ( ) 22 2 2 2 ( ) 2 = −    + − − y σ f y σ y μ Y 例 1

→E(X)=41,E(Y)=42,D(X)=o1,D(Y)=o. 而 Cov(X.Y)-(x-mX(y-/)f(x.y)dxdy 1 2nc0:1-(y-) dvdx了 。2o1.2(1-p2)L2 令t= n2- 01

( ) , ( ) , ( ) , ( ) . 2 2 2  E X = μ1 E Y = μ2 D X = σ1 D Y = σ Cov(X,Y ) (x μ )( y μ )f (x, y)d xd y   1 2 + − + − = − − 而 e e d d . ( )( ) 2π 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2(1 ) 1 2 ( ) 2 1 2 1 2 y x x μ y μ σ σ ρ σ x μ ρ σ y μ σ ρ x μ       − − − − − − − + − + −  − − − =   , 1 1 1 1 2 2 2       − − − − = σ x μ ρ σ y μ ρ 令 t , 1 1 σ x μ u − =

Cov(X,Y) (:-put pa.oyedrdn u21 n或r Fraawrea =p0102N2元：W2元， 2元 故有Cov(X,Y)=po1O2

  + − + − − − = σ σ − ρ tu + ρσ σ u t u X Y u t ( 1 )e d d 2π 1 Cov( , ) 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2                 =   + − + − − − u u t ρσ σ u t e d e d 2π 1 2 2 2 2 2 2                −  +   + − + − − − u u t t σ σ ρ u t e d e d 2π 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 , 2 1 2     = ρσ σ Cov( , ) . 故有 X Y = ρσ1σ2