《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）3-1 二维随机变量

第一节 二维随机变量 一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结

一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结 第一节 二维随机变量

、二维随机变量及其分布函 数 义 设E是一个随机试验它的样本空间是S={}, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量， 由它们构成的一个向量(X,Y),叫作二维随机向量 或二维随机变量. ●x(e) 图示 ●Y(e)

图示 • e •Y(e) S • X(e) . ( , ), ( ) ( ) , , { }, 或二维随机变量 由它们构成的一个向量 叫作二维随机向量 设 和 是定义在 上的随机变量 设 是一个随机试验 它的样本空间是 X Y X X e Y Y e S E S e = = = 一、二维随机变量及其分布函 1. 数定义

实例1 炮弹的弹着点的 位置(X,Y)就是一个二维 随机变量. 实例2考查某一地区学前 儿童的发育情况，则儿童的 身高H和体重W就构成二 维随机变量(H,W). 说明 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y 有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系

实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量. 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ). 说明

2.二维随机变量的分布函数 ()分布函数的定义 设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y, 二元函数： F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随 机变量X和Y的联合分布函数

2.二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义 . ( , ) , ( , ) {( ) ( )} { , } : ( , ) , , , 机变量 和 的联合分布函数 称为二维随机变量 的分布函数 或称为随 二元函数 设 是二维随机变量对于任意实数 X Y X Y F x y P X x Y y P X x Y y X Y x y =    =  

F(x,y)的函数值就是随机点落在如图所示区 域内的概率 (x,y) X≤x,Yy 文

o x y (x, y) • X  x,Y  y . ( , ) 域内的概率 F x y 的函数值就是随机点落在如图所示区

(2)分布函数的性质 1°F(x,y)是变量x和y的不减函数，即对于任 意固定的y,当x2>x时F(x2,y)≥F(x1,y), 对于任意固定的x,当y2>y,时F(x,2)≥F(x,y1), 2°0≤F(x,y)≤1，且有 对于任意固定的y,F(-oo,y)=limF(x,y)=0, 对于任意固定的x,F(x,oo)=limF(x,y)=0

(2) 分布函数的性质 , ( , ) ( , ), 1 ( , ) , 2 1 2 1 o y x x F x y F x y F x y x y 意固定的 当  时  是变量 和 的不减函数 即对于任 , ( , ) ( , ). 2 1 2 1 对于任意固定的x 当y  y 时F x y  F x y 2 0 ( , ) 1, o  F x y  对于任意固定的 y, (−, ) = lim ( , ) = 0, →−  F y F x y x 且有 对于任意固定的x, ( ,−) = lim ( , ) = 0, →−  F x F x y y

F(-00,-00)=lim F(x,y)=0, y→-00 F(+o0,+oo)=lim F(x,y)=1. y→+∞ 3°F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0), 即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续 4对于任意(x1,y1),(x2,y2),X1<X2,y1<y2, 有F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(1,1)-F(12)≥0

(+,+) = lim ( , ) = 1. →+  →+  F F x y y x ( , ) , . 3 ( , ) ( 0, ), ( , ) ( , 0), o 即 F x y 关于 x 右连续 关于 y 也右连续 F x y = F x + y F x y = F x y + (−,−) = lim ( , ) = 0, →−  →−  F F x y y x 4 ( , ),( , ), , , 1 1 2 2 1 2 1 2 o 对于任意 x y x y x  x y  y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. 有 F x2 y2 − F x2 y1 + F x1 y1 − F x1 y2 

证明 P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2} =P{X≤K2,y1<Y≤y,}-P{X≤x,y1<Y≤y2} =P{X≤x2,Y≤y2}-P{X≤X2,Y≤y} -P{X≤x1,Y≤y2}+P{X≤x1,Y≤y1}≥0， 故F(x2y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)≥0

证明 { , } 1 2 1 2 P x  X  x y  Y  y  0, { , } 2 1 2 = P X  x y  Y  y { , } 2 2 = P X  x Y  y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. 故 F x2 y2 − F x2 y1 + F x1 y1 − F x1 y2  { , } 1 1 2 − P X  x y  Y  y { , } 2 1 − P X  x Y  y { , } 1 2 − P X  x Y  y { , } 1 1 + P X  x Y  y

二、二维离散型随机变量 1.定义 若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有 限对或无限可列多对，则称(X,Y)为二维离散型 随机变量

若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量. 二、二维离散型随机变量 1. 定义

2.二维离散型随机变量的分布律 设二维离散型随机变量X,Y)所有可能取的 值为(x,y),i,j=1,2,记 p{X=xi,Y=yi}=pi,i,j=1,2, 称此为二维离散型随变量(X,Y)的分布律， 或随机变量X和Y的联合分布律 其中p20,∑∑P,=1. i=1 i=1

2. 二维离散型随机变量的分布律 0, 1. 1 1   =  =  i j= 其中 pij pij . ( , ) , { , } , , 1, 2, , ( , ), , 1, 2, , ( , ) 或随机变量 和 的联合分布律 称此为二维离散型随机变 量 的分布律 值 为 记 设二维离散型随机变量 所有可能取的 X Y X Y P X x Y y p i j x y i j X Y i j ij i j   = = = = =