《概率论与数理统计》课程教材课件（PPT讲稿）5 大数定律及中心极限定理

第五章 大数定律及中心 极限定理 概述 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性 的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进 行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从 随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机 现象研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由 此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广 泛，其中最重要的有两种： 大数定律与中心极限定理 641819.C0M

第五章 大数定律及中心 极限定理 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性 的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进 行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从 随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机 现象.研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由 此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广 泛，其中最重要的有两种: 大数定律与中心极限定理 概述

§5.1大数定律 大数定律的客观背景 二、几个常见的大数定律 三、小结

§5.1 大数定律 一、大数定律的客观背景 二、几个常见的大数定律 三、小结

大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大量抛掷硬币 正面出现频率 生产过程中的 字母使用频率 废品率

大量的随机现象中平均结果的稳定性 一、大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 生产过程中的 字母使用频率 废品率

二、几个常见的大数定律 Thl:切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 设随机变量X,X2,.,X,.相互独立，且 切比雪夫，几L 具有相同的数学期望和方差，E(Xk)=4, 切比雪夫 D(Xk)=o2,(k=1,2,),做前n个随机变量的算 术平均y,=之X,则对于任意正数，有 lim PY -u00 n k=1

二、几个常见的大数定律 切比雪夫 Th1: 切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 设随机变量 X1 ,X2 ,.,Xn.相互独立,且 具有相同的数学期望和方差，E(Xk ) = , 2 D(Xk ) =  ,(k = 1,2, ),做 前n个随机变量的算 术平均 = = n k n Xk n Y 1 1 ,则对于任意正数 ，有 | } 1 1 lim {| lim {| | } 1 = −  = −  = → →     n k k n n n X n P P Y

说明 (1)此定理也称为切比雪夫大数定理 (2)在所给的条件下，当n充分大时， 个随机变量的算术平均值与它们的数学期望有 较小的偏差的可能性比较大。可以考虑用算术平 均值作为所研究指标值的近似值

说明 （2） 在所给的条件下，当n充分大时， n个随机变量的算术平均值与它们的数学期望有 较小的偏差的可能性比较大。可以考虑用算术平 均值作为所研究指标值的近似值。 （1）此定理也称为切比雪夫大数定理

注意 证明切比雪夫大数定律主要的数学工 具是切比雪夫不等式. 设随机变量X有期望E(X)=4,方差 D(X)=σ2，则对于任意的e>0, P1X-E(XKe≥1-o 或PIX-EX)esO 切比雪夫不等式

证明切比雪夫大数定律主要的数学工 具是切比雪夫不等式. 注意 设 随 机 变 量 X 有期望 E(X) =  , 方 差 2 D(X) =  ,则对于任意的   0, 2 2 {| ( )| } 1   P X − E X    − 或 2 2 {| ( )| }   P X − E X    切比雪夫不等式

说明 不等式给出了在随机变量X的分布未知的 情况下，事件X-4<}概率的一种估计方法。 例 ε=3o,P{X-uK}=P{X-K3σ≥0.8889 8=4oP{X-K}=P{X-K4σ}≥0.9375

说明 例 =3 , P {|X- |< }= P {|X- |< 3 }0.8889 =4  P {|X- |< }=P {|X- |< 4 }0.9375 不等式给出了在随机变量 X 的分布未知的 情况下，事件{| X −  |  }概率的一种估计方法

例掷一颗骰子1620次，估计“六点”出现的次数 X在250~290之间的概率？ 解X~b1620, E(X)=p=1620×=270 6 D(X)=p(1-p）=1620×x5=225 66 由切比雪夫(Chebyshev)不等式估计 P{250<X<290}=P{X-270k20} 225 ≥1- 202 =0.4375

例 掷一颗骰子1620次，估计“六点”出现的次数 X在250～290之间的概率？ 解 由切比雪夫(Chebyshev)不等式估计 ) 6 1 X ~ b(1620, E(X) = 270 6 1 np = 1620 = D(X) = 225 6 5 6 1 np(1 − p) = 1620  = P{250  X  290} = P{| X − 270 | 20} 2 20 225  1 − = 0.4375

切比雪夫(Chebyshev)定理证明 设随机变量X1,X2,Xn相互独立，且具有相同 的数学期望和方差，E(Xk)=4,D(Xk)=o2, =12,做前个随机变量的算术平均，=之X。 则对于任意正数ε，有 lim P{Y -uK<& =imPI2X-水=1 k-1

设随机变量 X1 ,X2 ,., Xn 相互独立,且具有相同 的 数 学 期 望 和 方 差 , E(Xk ) =  , 2 D(Xk ) =  , (k = 1,2, ),做前n个随机变量的算术平均 = = n k n Xk n Y 1 1 , 则对于任意正数 ，有 | } 1 1 lim {| lim {| | } 1 = −  = −  = → →     n k k n n n X n P P Y 切比雪夫(Chebyshev)定理证明

E2X1=之EX)=u=4 k=1 m名x1-2x)-开 :P1∑x-4ke≥1-n 2 k- 令n→oo,且概率不能大于H,有 i-4k=mPI2x-4水e=l n k=1

 = = ] 1 [ 1 n k Xk n E  = = n k E Xk n 1 ( ) 1 n = n 1   = = ( ) 1 1 2 n k D Xk  = n = ] 1 [ 1 n k Xk n D = 2 2 1 n n n 2  | } 1 {| 1   −    = n k Xk n P 2 2 1   n  − −  = → lim {|  |  } n n P Y 令n → ,且概率不能大于1，有 | } 1 lim {| 1  −    = → n k k n X n P = 1